Приклади розв’язання задач

Задача 1 Куля масою 9 г, швидкість якої 600 м/с, попадає в дерев'яну стінку й застрягає в ній. Знайти середню силу удару й імпульс, отриманий стінкою, якщо час зіткнення 10 мс.

Дано:

m = 9 г = 910^-3 кг

= 600 м/с

t = 10 мс = 1010^-3 с

___________________

<F > – ?

p_с – 

Розв’язання. Відповідно до закону збереження імпульсу для довільної замкнутої системи тіл сумарний імпульс системи з часом не змінюється. Це означає, що

Куля до удару мала імпульс m . Оскільки удар непружний, то цей імпульс буде повністю переданий стінці

p_с = m ,

де p_с – зміна імпульсу стінки;

m – зміна імпульсу кулі.

За другим законом Ньютона для середніх значень маємо

<F>t = p_c = m .

Звідки середня сила удару кулі <F_c> дорівнює

<F> = .

Проведемо необхідні розрахунки:

р_с = m = 910^-3600 = 5,4 кгм/с;

<F> = Н.

При цьому сила <F_c> спрямована вздовж вектора початкової швидкості кулі, яку вона мала перед ударом.

Відповідь: 5,4 кг·м/с, 5,4·10² Н.

Задача 2 У кузов візка з піском загальною масою 40 кг, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 м/с, попадає камінь масою 10 кг і застрягає в піску. Знайти швидкість візка після зіткнення з каменем, якщо камінь перед попаданням у візок летів зі швидкістю 5 м/с під кутом 60^о до горизонту назустріч візку. Сили зовнішнього опору руху візка не враховувати.

Дано:

M = 40 кг

₁= 5 м/с

m = 10 кг

₂ = 5 м/с

 = 60^о

^{_______________}

u – ?

Розв’язання. Оскільки силами опору в задачі можна знехтувати, то для такого руху система є замкнутою й для цієї системи тіл виконується закон збереження імпульсу (точніше, закон збереження горизонтальної складової імпульсу).

Запишемо закон збереження імпульсу в напрямі руху візка

де M – маса візка з піском;

m – маса каменя;

– швидкість візка;

– горизонтальна складова швидкості каменя;

u – швидкість візка і каменя після непружної взаємодії.

Звідки одержуємо

Відповідь: 3,5 м/с.

Задача 3 На тіло масою 10 кг, яке рухається по горизонтальній площині, діє сила 100 Н під кутом 30⁰. Визначити роботу всіх сил, що діють на тіло, а також їх сумарну роботу при переміщенні тіла вздовж площини на 10 м. Коефіцієнт тертя між тілом та площиною 0,1. Визначити середню потужність, яку розвиває сила тяги.

Дано: Розв’язання

	Покажемо на рисунку всі сили,

що діють на тіло: сила тяжіння ; сила , сила реакції опори , сила тертя . Виберемо систему координат, як показано на рисунку.

1 Робота сили при переміщенні тіла на 10 м дорівнює

.

2 Роботою сили тертя є

,

де ;

– кут між напрямом сили тертя та переміщення , що дорівнює 180⁰, тоді

.

Силу визначимо з розгляду проекцій сил на вісь :

,

звідки

тоді .

3 Робота сили реакції опори

, де – кут між векторами та , що дорівнює 90⁰, тоді , а .

4 Робота сили тяжіння ,

де – кут між векторами та , що дорівнює -90⁰, тоді .

5 Сумарна робота всіх сил, що діють на тіло, дорівнює

.

Підставимо в отриману формулу вирази для та :

6 Визначимо середню потужність, яку розвиває сила тяги на переміщення ;

.

Необхідно визначити час руху тіла.

Оскільки в горизонтальному напрямку діють дві сили: проекція сили тяги та сила тертя , то прискорення, з яким рухається тіло,

.

З іншого боку, шлях при рівноприскореному русі , звідки .

Підставимо вираз для , урахувавши вираз для прискорення , уформулу потужності та отримаємо

.

Перевіримо розмірність та підставимо числові значення і виконаємо обчислення:

,

,

,

.

.

Відповідь: ; ; ; ; ; .

Задача 4 Куля масою 10 г летить зі швидкістю 500 м/с та пробиває дошку товщиною 2 см. При цьому швидкість кулі зменшилась до 300 м/с. Визначити середню силу опору при рухові кулі в дошці.

Дано: Розв’язання

	Зміна кінетичної енергії кулі обумовлена дією на неї сили опору , де – кут між напрямками сили опору та її переміщенням, , тому . Згідно з теоремою про кінетичну енергію , де зміна кінетичної енергії кулі

,

тоді

,

або

,

звідки

.

Перевіримо розмірність та підставимо числові значення

;

.

Відповідь: .

Задача 5 Кран піднімає вантаж масою 2 т на висоту 24 м за 2 хв. Знайти механічну потужність крана. Силами тертя знехтувати.

Дано: Розв’язання

-?	Механічна потужність за означенням дорівнює , де – механічна робота зовнішніх сил у процесі піднімання вантажу, що дорівнює зміні його потенціальної енергії: .

Тоді потужність

.

Перевіримо розмірність та підставимо числові значення:

;

.

Відповідь: 4 кВт.

Задача 6 Камінь масою 1 кг падає вертикально вниз з висоти 20 м зі швидкістю 10 м/с. При ударі камінь проникає у пісок на 10 см. Визначити середню силу опору рухові каміння у піску. Опір повітря не враховувати.

Дано: Розв’язання

- ?	Виберемо систему координат , початок якої визначається кінцевою точкою руху каменя 2.

Рівень – це нульовий рівень потенціальної енергії.

В точці 1 камінь має кінетичну та потенціальну енергії:

.

Зміна енергії каменя при його падінні обумовлена дією сил опору , які при рухові каменя в піску виконують роботу

.

Зміна енергії каменя

.

У точці 2 , оскільки ,

тому .

,

звідки

.

Перевіримо розмірність та підставимо числові значення:

;

.

Відповідь: .

Задача 7 Транспортер піднімає 200 кг піску на автомобіль за 1 с. Довжина його стрічки 3 м, кут нахилу до горизонту 30⁰. ККД транспортера 85%. Обчислити потужність, яку розвиває його двигун.

Дано: Розв’язання

-?	ККД транспортера за означенням: ,

Корисна робота, виконана двигуном транспортера,

.

При цьому затрачена робота двигуна

,

тоді

,

звідки

.

Перевіримо розмірність

.

Підставимо числові значення та виконаємо обчислення

.

Відповідь: .