5.3. Кпд машины Карно

Определим КПД цикла Карно для случая, когда рабочим веществом является идеальный газ. Для этого найдём тепло Q_н, получаемое машиной Карно от нагревателя, и тепло Q_х, отдаваемое ею холодильнику, и подставим их в (5.2).

Г аз получает от нагревателя тепло Q_н на изотерме Т_н = const (рис. 5.8). Так как при Т = const изменение внутренней энергии идеального газа ΔU = 0, то, согласно первому закону ТД,

Q_н = ΔU + A = A₁₂ = .

Для вычисления этого интеграла подставим в него р = RT_н/V. Тогда

Q_н = = RT_н ln(V₂ /V₁).

Аналогично, тепло Q_х, отдаваемое холодильнику на изотерме Т_х = const,

Q_х = RT_х ln(V₃ /V₄).

Установим теперь связь между V₁, V₂, V₃ и V₄: на адиабате 2-3:

Т_н V₂^γ−1 = Т_х V₃^γ−1;

на адиабате 4-1:

Т_н V₁^γ−1 = Т_х V₄^γ−1.

Разделив эти соотношения друг на друга, получаем:

.

Значит, . Подставляя это в (5.2), получаем для КПД цикла Карно:

η = 1 − . (5.3)

Отсюда видно, что всегда η < 1, а η → 1 лишь при Т_х → 0. Для реальных тепловых машин температура Т_х – это температура окружающей среды, т. е. Т_х ≈ 300 К, поэтому для увеличения КПД приходится повышать температуру нагревателя Т_н.

Пример. Пусть Т_х = 300 К, Т_н = 400 К (127°С). Тогда η = 1 − Т_х/Т_н = 25%. И это лишь для идеальной, т. е. обратимой машины, работающей по циклу Карно. А так как все реальные тепловые машины далеко не обратимы, то их КПД η значительно меньше, чем (5.3).

5.4. Теорема Карно

На основе постулата Томсона можно доказать следующее важное утверждение, которое называется теоремой Карно:

КПД идеальной (т. е. обратимой) тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от вида рабочего вещества и конструкции машины, а определяется только температурами Т_н и Т_х:

.

КПД любой необратимой машины (т. е. машины, в которой есть необратимый процесс), работающей между теми же температурами, меньше величины (1 − Т_х /Т_н). Таким образом, КПД обратимой машины Карно максимален среди всех машин, работающих между теми же температурами Т_н и Т_х:

. (без доказательства)

Замечание 1. Выражение η = 1 − Q_х /Q_н справедливо вообще для любой тепловой машины, так как это фактически есть определение КПД, но выражение η = 1 − Т_х /Т_н относится только к идеальной машине Карно. Следовательно, только для идеальной машины Карно отношение теплот

. (5.4)

Замечание 2. Не всякий изопроцесс легко сделать обратимым. Так например, изохорный разогрев р = αТ|_{V = const} не будет обратимым, если баллон с газом просто поставить на нагреватель с температурой Т_н > Т_газа (рис. 5.9, а): из-за резкого перепада температур и ограниченной теплопроводности газа его температура не будет одинакова по объёму баллона; значит, состояние газа в процессе разогрева уже не определено, так как оно неравновесно.

Для того, чтобы процесс был обратим, необходимо, чтобы при тепловом контакте различных частей машины друг с другом или с тепловым резервуаром, они имели бы бесконечно близкие температуры, т. е. холодное тело никогда не должно быть в прямом тепловой контакте с горячим: передача тепла между двумя телами с разными температурами является необратимым процессом. Так например, чтобы изохорный нагрев газа в баллоне сделать обратимым, надо этот баллон привести в тепловой контакт с цилиндром, в котором другой газ при той же начальной температуре очень медленно сжимается (рис. 5.9, б). На рис. 5.9, б верхний объём газа нагревается обратимо, так как при обратном ходе поршня газ проходит через все прежние состояния (рис. 5.9, в).