3.5. Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия идеального газа – это сумма кинетических энергий всех его молекул:

U = ∑W_кин = N ,

где N – число молекул в газе. А так как , где i – число степеней свободы молекулы, то

.

В частности, внутренняя энергия ν молей одноатомного газа (i = 3)

Видно, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от давления: U = U(T) ≠ f(p).

3.6. Теплоёмкость термодинамической системы

Если термодинамической системе сообщить некоторую теплоту dQ, то, вообще говоря, температура системы повысится на некоторую величину dT, причём dQ пропорционально dT. Эту линейную зависимость для малых количеств теплоты можно записать в виде

dQ = C₀dT. (3.6)

Коэффициент пропорциональности С₀ в формуле (3.6) называется теплоёмкостью системы (тела).

Определение 1. Теплоёмкость, отнесённая к единице массы,

, (3.7)

называется удельной теплоёмкостью тела.

Определение 2. Теплоёмкость, отнесённая к молю тела,

, (3.8)

называется молярной теплоёмкостью тела.

Из сравнения (3.7) и (3.8), а также с учётом, что ν = m/M, получаем, что

С = сМ.

Далее везде под термином «теплоёмкость» будем понимать именно молярную теплоёмкость.

3.7. Теплоёмкости идеального газа

Так как теплота Q не является функцией состояния системы, а зависит от условий нагрева, то и молярная теплоёмкость С тоже зависит от условий нагрева: нагрев при V = const, нагрев при р = const или при других условиях. Таким образом, «теплоёмкость вообще» определённого значения для газа не имеет: в зависимости от условий нагрева, теплоёмкость С может принимать любое значение от 0 до ∞, и даже может быть отрицательной.

Рассмотрим два варианта нагрева идеального газа: при постоянном объёме и при постоянном давлении. Соответствующие этим условиям молярные теплоёмкости будем обозначать С_V и С_р:

, .

Вариант 1: V = const (газ нагревают в жёстком баллоне (рис. 3.1)).

Т ак как

dQ = (pdV + dU)_{V = const} = dU = (i/2)νRdT,

то

С_V =

(здесь берётся полная производная, так как U имеет единственный аргумент Т). Таким образом,

dU = νC_V dT, (3.9)

где ν = m/M – число молей газа, С_V = (i /2)R – молярная теплоёмкость при постоянном объёме. И тогда первый закон термодинамики для элементарных процессов можно записать в виде:

dQ = pdV + νC_VdT. (3.10)

Замечание. Уравнение (3.9) легко интегрируется:

U = νC_VT + U₀,

г де U₀ – константа интегрирования, которая представляет собою внутреннюю энергию газа при Т = 0. Её можно положить равной нулю, так как при Т = 0 хаотического движения молекул нет (υ = 0). Таким образом, U₀ = 0, и внутренняя энергия идеального газа U = νC_V T (Дж).

Вариант 2: р = const (газ нагревают в цилиндре под тяжёлым поршнем (рис. 3.2)).

Так как

dQ = pdV + νC_V dT,

то

С_р = .

Но из уравнения состояния (3.3) при р = const следует, что

pdV = νRdT,

и тогда

С_р = С_V + .

Таким образом, С_р всегда больше С_V. Это объясняется тем, что при V = const тепло Q идёт только на нагрев газа, а при р = const – ещё и на совершение газом работы А при увеличении его объёма. Так как С_V =(i/2)R, то

С_р = С_V + R = .

Поскольку pdV = νRdT, то первый закон термодинамики теперь может быть записан не только в виде (3.10), но и в виде

dQ = pdV + νC_V dT = νRdT+ νC_V dT = νC_р dT.