4.3. Работа идеального газа при изопроцессах

В ычислим работу идеального газа при различных изопроцессах в соответствии с её определением

А = . (4.5)

1. Изотермический процесс.

Подставив в (4.5) выражение р из уравнения pV = νRT₀, получаем (рис. 4.6):

.

2. Изохорный процесс. Так как здесь V = const, то А = 0.

3. Изобарный процесс. Так как здесь р = const = р₀, то (рис. 4.7)

.

4. Адиабатный процесс.

Так как здесь Q = 0. то работа газа совершается только за счёт его внутренней энергии:

А = Q − ΔU = −ΔU = −νC_V ΔT = νC_V (Т₁ − Т₂). (4.6)

Отсюда видно, что при адиабатном расширении, когда А = pΔV > 0, газ охлаждается, т. е. ΔТ < 0.

Если в формулу (4.6) подставить Т₂ из уравнения адиабаты T₁V₁^γ−1=T₂V₂^γ−1, то получим ещё одно выражение для работы газа при адиабатном процессе:

А = νС_V Т₁(1 − (V₁/V₂)^γ−1).

4.4. Адиабатный процесс в тропосфере

Известно, что температура тропосферы с высотой уменьшается. Основной причиной этого являются конвективные потоки воздуха, которые перемещают его из нижних слоёв тропосферы в верхние, и наоборот. Когда воздух с уровня моря поднимается в верхние слои с низким давлением, он расширяется. А так как воздух – плохой проводник тепла, то можно считать, что процесс расширения является адиабатным, что и приводит к понижению температуры. При потоке воздуха сверху вниз происходит его адиабатное сжатие, и температура повышается.

Оценим в рамках этой модели изменение температуры с высотой. Для этого рассмотрим вертикальный столб воздуха сечением S и вырежем в нём тонкий слой dh на высоте h над уровнем моря (рис. 4.8). Масса воздуха в этом слое

dm = ρdV = ρSdh,

где ρ – плотность воздуха на высоте h. Вес этого слоя воздуха dP = ρgSdh. Значит, уменьшение (убыль) давления с высотой – это давление этого слоя:

−dp = dP/S = ρgdh.

Плотность воздуха ρ выразим из уравнения состояния pV = (m/M)RT:

ρ = .

И тогда:

,

или:

. (4.7)

Выразим теперь левую часть (4.7) через Т. Для этого продифференцируем уравнение адиабаты (4.4):

d( .

Это даёт:

.

А так как , то . И тогда (4.7) принимает вид:

С_рdT=−Mgdh,

или:

. (4.8)

Подставляя сюда численные значения: g = 9,8, М = 0,029, С_р = (7/2)R = 29, получаем искомое изменение температуры с высотой:

.

Реально температура воздуха снижается немного медленнее, так как в данной адиабатной модели атмосферы не учитывается эффект выделения тепла при конденсации водяного пара в расширяющемся, а следовательно, и охлаждающемся потоке воздуха.

4.5. Изотермическая модель атмосферы

Вернёмся к уравнению (4.7). Если в первом приближении полагать, что температура воздуха с высотой не меняется, т.е. считать, что Т=const (изотермическое приближение), то уравнение (4.7) легко интегрируется:

.

Постоянная интегрирования А определяется из условия: при h = 0 давление р = р₀ = 1 атм. Это даёт: А = ln р₀. И тогда

. (4.9)

Э та формула называется барометрической и описывает изменение давления с высотой в изотермической модели атмосферы. Подстановка в (4.9) численных значений (М = 0,029, g = 9,8, R = 8,31, Т = 300) даёт, что давление атмосферы падает примерно в 2 раза на каждые 6 км высоты. График функции (4.9) показан на рис. 4.9.

Замечание. Если функцию Т(h) брать из адиабатной модели атмосферы, т. е. из (4.8), то уравнение (4.7) также легко интегрируется, но зависимость р(h) в этом случае будет более громоздкой.

Пример. Найти давление на вершине Эвереста в изотермическом приближении.

Решение. Полагая h = 9000 м, М = 0,029, Т = 250 К (−23°С), из (4.9) получаем: р = р₀ е^−1,28 ≈ 0,28 р₀.