По аналогии с выражением (3.17) из формулы (3.36) следует

, (3.37)

где

. (3.38)

На основании ортогональности координат в разло­жении по Котельникову

(3.39)

. (3.40)

Несмещенная оценка случайного отсчета в момент времени по методу максимума правдоподобия будет

. (3.41)

Как видно из равенства (3.41), оценку случайного отсчета , входной реализации у(t) в момент времени можно получить на выходе линейного фильтра, оптимального в смысле максимума отношения сигнал–шум для сигнала . Спектральная плотность функции

будет

Оптимальный фильтр, согласованный с сигналом , будет физически не реализуем.

Однако на практике его можно заменить квазиоптимальным фильтром с той же амплитудно-частотной характеристикой, в виде идеального полосового фильтра с частотой среза и модулем комплексного коэффициента передачи

.

Математическое ожидание оценки в этом случае будет рав­но , а дисперсия оценки – дисперсии белого шума.

На основании изложенного с учетом выражений (3.39) – (3.41) последние два члена в левой части неравенства (3.37) можно вы­числять, используя оценку отсчета случайного процесса на выхо­де идеального полосового фильтра с частотой среза . Тогда ал­горитм системы обнаружения можно представить в виде

(3.42)

или

, (3.43)

где у(t) –реализация на выходе идеального полосового фильт­ра с частотой среза .

В случаях, когда на вход системы могут поступать реализации у(t), содержащие и помехи в аддитивной смеси с белым шумом,

. (3.44)

В общем случае помеха (так же, как и сигнал) – не­стационарный случайный процесс. Если выборочные реализации помехи не содержат частот вы­ше , то по аналогии с рассмотренным случаем реализацию по­мехи можно представить по Котельникову с числом отсчетов

,

где – длительность помехи,

и при нормальном законе распределения плотность распределе­ния вероятностей отсчетов помехи может быть записана аналогич­но выражению (3.25). В рассматриваемом случае система должна решать задачу распознавания и вычислять отношение коэффициен­тов правдоподобия (3.26). Тогда на основании выражений (3.32)– (3.37) и (3.42), (3.43) распознавание сигнала от помехи можно осуществлять, вычисляя неравенство

, (3.45)

где и – реализации сигнала и помехи, полученные с выходов идеальных линейных полосовых фильтров с частотами среза соответственно и .

Оптимальная система, решающая совместно задачи обнаруже­ния и распознавания, должна совместно вычислять неравенства (3.43) и (3.45). Если число отсчетов входной реализации в разло­жении по Котельникову выбирать из условий наиболее высокой частоты среза сигнала, то равенство (3.39) будет иметь место, ес­ли на интервале принятия решения Т выбрано большим, чем это требуется по теореме Котельникова.

При выборе интервала дискретизации из наиболее высокой час­тоты среза решение о наличии на входе реализации сигнала при распознавании на основании неравенства (3.43) можно прини­мать по следующему неравенству: . (3.46)

Алгоритмы (3.43 и 3.46) можно упростить, и решение о наличии на входе реализации полезного сигнала при обнаружении и распознава­нии можно принимать, вычисляя одно неравенство в схеме с од­ним пороговым устройством.