Области принятия решений оптимальных и рациональных систем

Для обоснования рациональных способов построения систем принятия решений в ближней локации, использующих априорную информацию о взаимной корреляции параметров сигналов, рас­смотрим двухканальную систему обнаружения. Тогда при n=2 квадратичные формы алгоритмов (3.23) и (3.42) будут иметь вид

, (3.47)

где – матрица, обратная матрице, ковариацион­ных моментов .

Выражение (3.47) преобразуем к следующему виду:

. (3.48)

При n=2

; ,

где и – среднеквадратические отклонения оценок случай­ных параметров и соответственно; r – нормированный коэф­фициент взаимной корреляции оценок параметров и .

Линейная регрессия случайной величины на остальные (n–1) величины есть функция вида

, (3.49)

где коэффициенты регрессии

. (3.50)

Учитывая, что в матрице , имеем

.

На основании равенства (3.50) в выражении (3.48) множитель при в квадратной скобке есть коэффи­циент регрессии оценки случайного параметра на оценку . При n=2

,

а множитель при

.

При больших значениях коэффициента взаимной корреляции оценок случайных параметров и , например r>0,9, и отклоне­нии оценок и от линии регрессии первым членом в фигурной скобке выражения (3.48) можно пренебречь по сравнению с членом, стоящим в квадратной скобке, как величиной второго порядка малости

Действительно, при r>0,9

.

Тогда при принятом допущении (r>0,9) вычисление квадратичной формы (3.47) сводится к вычислению полинома вида

(3.51)

или

, (3.52)

где , .

Вторые члены, стоящие в квадратных скобках правых частей выражений (3.51) и (3.52), на основании равенства (3.49) есть ли­нейные регрессии одного случайного параметра на другой.

Таким образом, корреляционная оценка случайных параметров сводится к вычислению квадрата отклонения истинного значения оценки одного случайного параметра сигнала от ее регрессионного представления через оценку другой.

В системах ближней локации для случайных сигналов, имею­щих одинаковую физическую природу, при усреднении по услови­ям встречи вблизи выбранной точки в большинстве случаев оказы­вается

, (3.53)

поскольку параметры обоих сигналов чаще всего есть функции од­ного и того же вида от случайных параметров условий встреч и па­раметров приёмопередающего тракта.

Тогда в равенствах (3.51) и (3.52) на основании равенства (3.53) при коэффициенте корреляции r>0,9

, .

При принятых допущениях с учетом специфики систем ближней локации корреляционная оценка случайных параметров сигналов при n=2 сводится к вычислению полиномов вида

, . (3.54)

и

,

есть остаточные дисперсии линейного регрессионного предсказа­ния.

На основании выражения (3.23) при принятых допущениях ал­горитм работы двухканальной системы с квазидетерминированными сигналами, вычисляющей коэффициент правдоподобия, может быть представлен в виде:

при корреляционной оценке по равенствам (3.54)

, (3.55)

при корреляционной оценке то выражению (3.51)

. (3.56)

Как видно из неравенства (3.55), принятие решения о присутст­вии на входе системы реализации сигнала при принятых допуще­ниях с учетом специфики систем ближней локации сводится к оценке энергии сигналов на фоне шума со спектральными плотностями и путем вычисления первых двух членов неравенства (3.55) и к оценке регрессионных соотношений случайных ампли­туд сигналов путем вычисления третьего члена неравенства (3.55), который на основании выражений (3.49) и (3.54) представляет со­бой отношение квадрата ошибки регрессионного представления оценки одного случайного параметра через оценку другого к оста­точной дисперсии.

При коэффициенте взаимной корреляции r>0,9 для умень­шения отличий в областях принятия решений оптимальных рег­рессионных систем для исключения операций центрирования оце­нок при неизвестных математических ожиданиях и в систе­мах ближней локации вместо коэффициента регрессии , кото­рый будем называть коэффициентом центральной регрессии, целе­сообразно использовать коэффициент начальной регрессии .

Как видно из неравенства (3.55), граница области принятия ре­шения системы обнаружения на плоскости определяется кри­вой второго порядка.

Общее уравнение второй степени относительно и имеет вид

,

где (где ).

Инвариантами относительного переноса и поворота осей, опре­деляющими свойства кривой второго порядка на плоскости, явля­ются три величины:

.

Для исследования области принятия решения без ущерба для общности рассуждений масштабы единичных сигналов по форму­ле (3.8) можно выбирать так, чтобы по каналам были одина­ковыми, при этом соответственно изменятся и масштабы случай­ных параметров и , а также параметры распределения веро­ятностей.

Тогда неравенство (3.55) можно представить в виде

. (3.57)

Граница области принятия решения, определяемая алгоритмом (3.57), характеризуется инвариантами:

;

. (3.58)

В выражениях (3.57) и (3.58) – дисперсия оценок случайных амплитуд сигналов и ; – остаточная дисперсия оценки случайного параметра при регрессионном пред­ставлении через ; – коэффициент начальной регрессии.