1) Ақиқат оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең.

Өйткені, берілген жағдайда m=n,

.

2) Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең.

Өйткені, бұл оқиға мүмкін емес, бірде бір элементар жағдайлар оқиға ға қолайлы емес. Бұл жағдайда m=0,

.

3) Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 мен 1-дің аралығында жататын оң санға тең.

.

Салыстырмалы жиілігі.

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының біріне ықтималдықпен қатар салыстырмалы жиілігі де кіреді.

Оқиғаның салыстырмалы жиілігі деп осы оқиғаның пайда болу санының жүргізілген тәжірибенің жалпы санына қатынасын атайды. Ол мына формуламен анықталады:

,

мұндағы m – оқиғаның пайда болу саны, n – тәжірибенің жалпы саны.

Мысал.

Нысанаға 35 оқ атылды, 21 оқ тию болды. Нысанаға тиюдің ықтималдығын табыңыз:

.

Кездейсоқ құбылыстардың орнықтылық қасиеті бар. Бұл қасиеті мынаны білдіреді: әр түрлі тәжірибелерде салыстырмалы жиілігінің аз өзгеруі, қандайда бір санның айналасында тербелуі. Осы тұрақты санды оқиғаның көріну ықтималдығы дейді.

Мысал.

Швед статистикасының берілгендері бойынша 1935 жылы қыз балдардың дүниеге келуінің салыстырмалы жиілігі айлар бойынша тең ( қаңтар айынан бастап айлардың орналасу тәртібі бойынша берілген):

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Салыстырмалы жиілігі 0,482 санының айналасында болғандықтан, бұл санды қыз баланың дүниеге келуінің ықтималдығы деп жуықтап алуға болады.

Комбинаториканың негізгі формулалары.

Алмастыру деп айырмашылықтары орналасу тәртібінде болатын бірдей әртүрлі n элементтерден тұратын комбинацияларды атайды.

,

мұндағы

.,

0!=1 (анықтама бойынша) .

Мысал.

1,2,3, сандардан қанша үш таңбалы сандар құрастыруға болады, егер әр цифра санның бейнелуінде бір рет кездесетін болса?

Орналастыру деп бір-бірінен айырмашылығы элементтердің құрамы немесе олардың орналасу тәртібінде болатын m элементтері бойынша n әртүрлі элементтерден тұратын комбинацияларды атайды.

Мысалы.

1,2,3,4,5, сандардан қайталаусыз қанша үш таңбалы сандар құрастыруға болады.

Теру деп бір-бірінен айырмашылығы ең болмаса бір элементінде болатын, m элементтері бойынша n әртүрлі элементтерден тұратын комбинацияларды атайды.

Барлық терулердің саны:

Геометриялық ықтималдық.

Оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін, ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдаланып, m және n сандарын анықтау қиындыққа түседі, сондықтан оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін, мына формуланы

қолданбайды.

Осындай жағдайларда геометриялық ықтималдық ұғымын енгізеді, нүктенің берілген облысына (кесінді, жарты жазықтық, дененің бөлігіне) түсу ықтималдығын қарастырады.

Мысалы.

l кесіндісі L кесіндісінің бөлігін құрайды. Кездейсоқ L кесіндісіне нүкте лақтырылған. Нүктенің l кесіндісіне түсуінің ықтималдығы осы кесіндінің ұзындығына тәуелді және оның осы L кесіндісі арқылы орналасуына тәуелсіз болса, онда нүктенің l кесіндісіне түсуінің ықтималдығы мына теңдікпен анықталады.

.

g жазық фигурасы G жазық фигурасының бөлігін құрайды. G фигурасына кездейсоқ нүкте лақтырылған. Нүктенің g фигурасына түсуінің ықтималдығы осы фигураның ауданына тәуелді және оның осы G фигурасы арқылы орналасуына және g фигурасының түріне тәуелсіз болса, онда нүктенің g фигурасына түсуінің ықтималдығы мына теңдікпен анықталады.

Кеңістіктегі v денесі V денесінің бөлігін құрайтын болса, нүктенің түсу ықтималдығы осылай анықталады.

.

Мысалы.

Ұзындығы 20 см кесіндінің ішіне ұзындығы 10 см кіші кесінді орналастырылған. Үлкен кесіндіге кездейсоқ қойылған нүкте кіші кесіндіге түсетінің ықтималдығын тап. Нүктенің кесіндіге түсетінінің ықтималдығы кесіндінің ұзындығына пропорционал және оның орналасуына тәуелді емес.

Шешуі:

Формулаға сәйкес

.

Дәріс №2.