Бейес формуласы.
Берілген ауданның дүкеніне түсетін электршамының сапасы және саны алдындағы мысалда келтірілген шарттан анықталады. Электршамдардың шығару орнын және олардың ықтималдықтарын есептейтін мүмкін болжамдарды көрсетіңіз.
Стандартты болып шыққан электршам бірінші, екінші, үшінші заводтарда шығарылуы мүмкін.
,
осыдан
,
мұндағы
- толық ықтималдық формуласы.
Онда
.
.
Бейес формуласы:
.
Дәріс №3.
Тақырыбы: «Тәуелсіз тәжірибелер. Бернулли формуласы.» «Лапластың локальдық және интегралдық теоремасы».
Бернулли формуласына әкелетін есепті қарастырайық.
Кездейсоқ алынған 5 бөлшектердің екеуі стандартты болатындығының ықтималдығын тап, егер әр бөлшектің стандартты болатынының ықтималдығы 0,9-ға тең болса.
Шешуі:
Кездейсоқ
алынған шар стандартты деп болжамдап
алынған А оқиғасының ықтималдығы
,
оның стандартты емес екендігінің
ықтималдығы
.
Ізделінді оқиға (оны В арқылы белгілейміз),
егер алғашқы екі бөлшек стандартты, ал
қалған үшеуі стандартты емес болса
болады. В оқиғасы сонымен қатар, егер
1-ші және 3-ші бөлшектер стандартты, ал
қалғаны стандартты емес болса да болады.
В оқиғасының болуының басқа да
мүмкіндіктері бар. Олардың бәрі де
кездейсоқ алынған бесеуінің қандай да
бір орын алатын екеуі стандартты болуымен
сипатталады. Сондықтан, В оқиғасының
орындалу мүмкіндіктерінің жалпы саны
бесеуінен екеуі үйлесімді болғандағы
санына тең, яғни:
.
Ықтималдықтарды
көбейту теоремасы бойынша әр мүмкіндіктің
ықтималдығы бес көбейткіштің көбейтіндісіне
тең, олардың екеуінің стандартты болатыны
0,9-ға, стандартты емес болатыны 0,1-ге
тең, яғни
ықтималдығын құрайды. Көрсетілген 10
мүмкіндіктер үйлесімсіз оқиға
болғандықтан,
деп белгіленген В оқиғасының ықтималдықтарын
қосу теоремасы бойынша мынаған тең:
.
Есептің шешімінің қорытындысын осылай түрлендіруге болады:
Әр
тәжірибеде А оқиғасы болатындығының р
ықтималдығы тұрақты болса, n тәуелсіз
тәжірибелерінде А оқиғасы дәл k рет
болатынның
ықтималдығы мына формула бойынша
есептеледі:
,
Мұндағы
.
ауыстырып,
мынаны шығарамыз:
.
Мысал .
Тиын 8 рет лақтырылды. Оның 6 рет жалау жағымен төменге қарап түсетінінің ықтималдығы қандай?
Шешуі:
n=8, k=6, p=0,5, q=0,5
.
Егер тәжірибелер саны үлкен болса, ал тәжірибеде оқиғаның көріну ықтималдығы өте аз болса, онда жуық формуласын қолданады:
Pn(k)=
,
Мұндағы
,
k
–
тәуелсіз тәжірибелерде оқиғаның көріну
саны. Берілген жағдайда кездейсоқ шама
Пуассон заңы бойынша үлестірілген
делінеді.
Лапластың локальдық және интегралдық теоремасы».
Лапластың локальдық теоремасы.
Лапластың локальдық теоремасы, егер тәжірибелер саны жеткілікті көп болса, n тәжірибелерде оқиғалардың дәл k рет болатындығының ықтималдығын жуықтап есептеуге мүмкіндік береді.
Лапластың локальдық теоремасы. Егер әр тәжірибеде А оқиғасы болатындығының р ықтималдығы тұрақты және ноль мен бірден айырмашылығы болса, n тәуелсіз тәжірибелерінде А оқиғасы дәл k рет болатынның ықтималдығы (қаншалықты n көп болса, соншалықты дәлірек) мынаған тең :
,
мұндағы
,
.
x
– тің оң мәндері үшін
функциясының кестесі 1-қосымшада; теріс
мәндері үшін де осы кестені пайдалануға
болады, себебі
функциясы - жұп,
.
Мысалы,
152 тәжірибеде А оқиғасының 50 рет болуының ықтималдығын табыңыз, егер осы оқиғаның әр тәжірибеде болуының ықтималдығы 0,25-ке тең болса
Шешуі: Шарт бойынша: n=152, k=50, p=0,25, q=0,75.
n=152 жеткілікті үлкен сан болғандықтан, Лапластың локальдық теоремасын қолданайық:
,
мұнда
.
Есептейміз
.
1
қосымшадағы кесте бойынша
.
Ізделінді ықтималдық:
.
Лапластың интегралдық теоремасы.
Лапластың
интегралдық
теоремасы.
n тәуелсіз тәжірибелерінде, олардың
әрқайсысындағы оқиғаның көрінуінің
ықтималдығы p (0<p<1), оқиға
-дан
аз емес және
-дан
көп емес рет пайда болатындығының
ықтималдығы шамамен мынаған тең:
,
мұндағы
,
-
Лаплас функциясы
Оң мәндер үшін Лаплас функциясының кестесі 2-ші қосымшада берілген, теріс мәндері үшін де осы кестені қолдануға болады, себебі Лаплас функциясы тақ:
.
Мысалы,
Бөлшектің тексерістен өтпегендігнің ықтималдығы p=0,2 –ге тең. 400 кездейсоқ алынған бөлшектердің 70 пен 100 аралығында тексерілмеген болатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі:
Шарт бойынша, p=0,2, q=0,8, n=400,
,
.
Лапластың интегралдық теоремасын
пайдаланайық:
және
- ні есептеп шығарайық.
2-ші қосымшадағы кесте бойынша мынаны табамыз:
.
Ізделінді ықтималдық
.
Салыстырмалы
жиеліктің тұрақты р ықтималдығынан
абсолюттік шамасы бойынша берілген
санынан аспайтындығының ықтималдығын
табу мақсатын алға қояйық. Басқаша айта
келсек, теңсіздікті орындау ықтималдығын
табайық.
бұл ықтималдық мына формула бойынша табылады
.
Дәріс №4.