2.1.2. Инерционное звено.

Звено называется инерционным, если связь между входным х(t) и выходным z(t) сигналами звена определяется дифференциальным уравнением:

. (2.4)

Смысл коэффициентов T и k будет пояснен позже. Такое звено называют также апериодическим, статистическим, одноемкостным, релаксационным.

Надо заметить, что этот тип звена наиболее часто встречается в практике автоматического управления. В качестве примеров инерционного звена можно назвать термопару, магнитный усилитель, двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, генератор и т.д.

Если к (2.4) применить преобразование Лапласа, при нулевых начальных условиях, то получится

.

Найдем отсюда передаточную функцию звена

. (2.5)

Переходная характеристика звена определиться из выражения

(2.6)

На рисунке 2.6 представлены для сравнения сигналы х(t) = 1(t) и z(t) = h(t) инерционного звена.

Рис. 2.6. Единичный скачок и переходная

функция инерционного звена.

Из рисунка видно, что, сравнивая установившиеся значение выходного сигнала звена k и величину входного 1(t), можно сделать вывод, что параметр k в (2) есть коэффициент усиления звена. Из этого же рис. 20. видно, что кривая 2 характеризует более замедленную, более инертную реакцию звена на единичный скачок. Для кривой 2 параметр Т₁ (смысл которого ясен из рисунка) больше параметра Т₂ для кривой 1.Значит, этот параметр может служить мерой инерционности звена. Обычно, этот коэффициент Т называют постоянной времени звена.

Импульсная переходная (весовая) функция звена w(t), представленная на рис. 2.7, определяется следующим образом

. (2.7)

П олучим частотную передаточную функцию звена W(jω), заменив в (2.5) р на jω

.

Отсюда легко определяются АЧХ A(ω) и ФЧХ φ(ω)

φ

Качественный вид графиков, соответствующих выше найденным зависимостям A(ω) и φ(ω), представлен на рис. 2.8.

Рис.2.8. АЧХ и ФЧХ инерционного звена.

По найденным графикам A(ω) и φ(ω) на рис. 2.9 построена амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена

Рис. 2.9. АФХ инерционного звена.

Из выражения для АЧХ звена выводится точное соотношение для ЛАЧХ:

. (2.8)

В выражении для L(ω) вычислять слагаемое для различных частот от 0 до ∞ представляет определенные неудобства. Вот если бы удалось диапазон частот 0 ≤ ω < ∞ так разбить на два (в данном конкретном случае) поддиапазона, чтобы в каждом из них кривая линия была бы заменена прямой линией (асимптотой) с собственным наклоном, вычисления существенно бы упростилось.

В качестве первого участка возьмем диапазон частот, для которого или ωT<1. Тогда в выражении для асимптоты первого порядка вторым слагаемым подкоренного выражения ²T² можно пренебречь по сравнению с первым

Итак, первая асимптота представляет собой прямую линию, не зависящую от частоты, и проходящую по оси частот. Наклон такой асимптоты равен 0.

На втором участке рассмотрим диапазон частот, для которого или ωT >1. Тогда асимптота второго участка может быть получена, если в выражении пренебречь первым слагаемым подкоренного выражения по сравнению со вторым

. (2.9)

Поскольку при построении ЛАЧХ по оси абсцисс частоты откладываются в логарифмическом масштабе, то вторая асимптота представляет собой уравнение прямой, зависящей от частоты ω (т.е. проходящей с некоторым наклоном к оси частот). Ниже будет показано, как определять наклон таких асимптот.

Когда же сопрягаются, т.е. становятся равными эти две асимптоты L₁(ω) и L₂(ω)? Очевидно, тогда, когда первое слагаемое подкоренного выражения точной кривой становится равным второму

1= ω²T².

Отсюда частота, при которой сопрягаются обе асимптоты, или сопрягающая частота

.

Асимптоты L₁(ω) и L₂(ω) представляют собой совокупность прямых, приблизительно заменяющих точную кривую (рис.23). На этом рисунке помимо асимптот L₁(ω) и L₂(ω) пунктиром показана и упомянутая точная кривая.

Рис. 2.10. Точная ЛАЧХ и ее асимптоты.

Вернемся к выражению (2.8) для точной ЛАЧХ звена и построим асимптоты, приблизительно ее заменяющие.

Начинать построение ЛАЧХ рекомендуется с определения сопрягающих частот. Сопрягающих частот у ЛАЧХ будет столько, сколько звено (или САР) имеет постоянных времени. В случае инерционного звена из рис. 2.10 видно, что имеется лишь одна постоянная времени Т и, значит, одна сопрягающая частота

Эта сопрягающая частота делит ось частот на два участка ω < ω_c и ω > ω_c. Для более сложных звеньев или САР число постоянных времени может достигать произвольного значения m, тогда число участков будет m+1.

В случае инерционного звена рассмотрим: