2.1.3. Интегрирующее звено.

Процесс в интегрирующем звене описывается уравнением вида

. (2.10)

Продифференцировав это интегральное уравнение по времени, можно его представить в виде дифференциального уравнения

. (2.11)

Такое звено называют еще астатическим или нейтральным.

Если перейти в последнем уравнении в Лапласовую область, то можно получить передаточную функцию звена

,

отсюда

. (2.12)

Примерами интегрирующих звеньев могут служить: электрическая емкость (рис.25 а); индуктивность (б); вращающийся вал (в), если за входной его сигнал считать угловую скорость вращения , а за выходной сигнал – угол поворота вала φ; гидравлический резервуар (г); операционный усилитель в режиме интегрирования (д).

Рис.2.12. Примеры интегрирующих звеньев.

Действительно, напряжение на емкости

,

магнитный поток в индуктивности

,

угол поворота вала

φ φ₀,

уровень воды в гидравлическом резервуаре

,

напряжение на выходе операционного усилителя

описываются интегральными уравнениями, аналогичными уравнению интегрирующего звена (26).

В этих уравнениях приняты следующие обозначения: i – ток в емкости С, u – напряжение на катушке с числом витков w, Q – приток воды в резервуар, G – слив воды из резервуара, S – поверхность резервуара.

Найдем переходную характеристику звена

.

Импульсная переходная (весовая) функция определяется следующим образом

.

На рис. 26 представлены обе эти характеристики.

Рис. 2.13. Временные характеристики

интегрирующего звена.

По имеющейся передаточной функции звена найдем частотную передаточную функцию:

,

а затем и АЧХ и ФЧХ

эти зависимости изображены на рис. 2.14.

Рис. 2.14. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена.

А ФХ интегрирующего звена (рис. 2.15) построена на основании зависимостей A(ω) и φ(ω). Подчеркнем, что для всех частот 0 ≤ ω < ∞, фазовый угол звена равен , т.е. АФХ звена пройдет по отрицательной полуоси ординат.

Выражение для точной ЛАЧХ звена

дает уравнение прямой линии с наклоном -20 , т.е. эту точную ЛАЧХ не надо заменять асимптотой.

Поскольку ЛАЧХ наклонена, то она пересекает ось абсцисс (т.е. становится равной нулю) при некоторой частоте среза ω_c

,

отсюда

ω_cр = k

и ЛАЧХ интегрирующего звена выглядит следующим образом (рис. 2.16):

Рис. 2.16. ЛАЧХ интегрирующего звена.

2.1.3 . Дифференцирующее звено.

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризуется уравнением

, (2.13)

или в операторной форме

.

Примерами такого звена могут служить электрическая емкость (рис. 29 а), индуктивность (б), тахогенератор (в).

Рис.2.17. Примеры идеальных дифференцирующих

звеньев.

В самом деле, уравнения для тока в емкости

,

напряжения на индуктивности

,

и напряжения на зажимах тахогенератора постоянного тока

,

совпадают по форме с уравнением идеального дифференцирующего звена.

Из уравнения (8) получается передаточная функция идеального дифференцирующего звена

и, соответственно, частотная передаточная функция

.

Для нахождения переходной характеристики идеального дифференцирующего звена воспользуемся соотношением

,

а весовая функция звена может быть получена следующим образом

.

При известной частотной передаточной функции W(jω) АЧХ и ФЧХ звена легко находятся

.

На рис. 30 построены эти зависимости. На этом же рисунке, по значениям A(ω) и φ(ω) получена АФХ звена W(jω), которая проходит по положительной полуоси ординат. Это обусловлено тем обстоятельством, что для любой частоты 0 ≤ < ∞ фазовый угол φ( ) одинаков и равен .

Рис.2.18. АЧХ, ФЧХ и АФХ идеального

дифференцирующего звена.

Выражение для точной ЛАЧХ

представляет собой прямую с наклоном +20 и ее не надо заменять асимптотой. Из этого факта, что L( ) при некоторой частоте = _ср пересекает ось абсцисс, т.е. становится равной нулю, найдем

или

;

.

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. ЛАЧХ идеального дифференцирующего

звена.

Однако практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (8), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такие звенья называются реальными дифференцирующими звеньями. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальным уравнением вида

,

или в Лапласовой форме

. (2.14)

Примерами таких звеньев могут служить, например, четырехполюсники (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Примеры реальных дифференцирующих звеньев.

Из уравнения (2.14) найдется передаточная функция звена

. (2.15)

Переходную характеристику звена h(t) можно, как уже указывалось, определить по формуле:

. (2.16)

Весовую функцию звена найдем, исходя из выражения

.

Поскольку h(t) – сложная функция, содержащая два сомножителя, зависящих от t , то

.

Так как первое слагаемое этого выражения равно нулю при t ≠ 0, ибо δ(t) = 0 при t ≠ 0, то сомножитель имеет смысл рассматривать только при t = 0, а в этом случае , и окончательно выражение для w(t) имеет вид

.

Таким образом, получается, что весовая функция реального дифференцирующего звена w(t) состоит из двух составляющих. Первая составляющая δ – функция с площадью расположена на оси ординат, а вторая – экспонента, рассматриваемая для t ≥0. Переходная h(t) и весовая w(t) функции приведены на рис. 33 а) и б), соответственно.

а) в)

Рис. 2.21. Временные характеристики реального дифференциального звена.

Частотная передаточная функция W(j ) найдется из (2.3)

.

Отсюда

φ φ₁(ω) – φ₂(ω)

Имея в виду, что при очень большой частоте, т.е. при → ∞, в подкоренном выражении для A( ) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым, получается:

,

построим АЧХ и ФЧХ реального дифференциального звена, а по ним и АФХ (рис. 2.22)

а) б) в)

Рис. 2.22. АЧХ (а), ФЧХ (б) и АФХ (в) реального дифференцирующего звена.

Выражение для точной ЛАЧХ звена имеет вид

.

Как видно из (10) звена имеет одну постоянную времени Т и, значит, одну сопрягающую частоту [c^-1]. Эта частота _с разобьет ось частот на два участка (рис.34)