Задача на динамику движения системы из нескольких тел

Через невесомый блок без трения в оси перекинута невесомая нерастяжимая веревка, к концам которой привязаны грузы с одинаковыми массами m, расположенные на отсчитываемом вдоль вертикали расстоянии h друг от друга. Система покоилась до тех пор, пока на веревку не посадили дрессированную обезьяну, которая сразу схватила веревку и начала перебирать лапами так, чтобы всегда оставаться на месте. Через какое время грузы после начала движения грузы окажутся на одной высоте?

1

Уравнения движения для двух (вторые законы Ньютона) для двух грузов и обезьяны.

Проекции векторных равенств на направления движения участков нити.

2

Условие нерастяжимости нити

3

Условие невесомости блока и его вращения без трения.

4

Расчет ускорения грузов

5

Расчет времени прохождения грузом половины пути до встречи.

6

Время до встречи грузов

Ответ: грузы окажутся на одной высоте через после начала движения.

На неподвижном клине с углом при основании α размещены два груза, соединенные невесомой нерастяжимой нитью,

перекинутой через идеальный невесомый блок. Коэффициент трения груза массой m о поверхность клина равен μ. При каких значениях массы М система будет неподвижна?

1

Дополнительная задача для определения направления движения системы в отсутствии сил трения: уравнения движения для грузов .

2

Ускорение системы в отсутствии трения. Знак полученного выражения определяет направление сил трения.

3

Условие неподвижности каждого их тел в системе при «стремлении» ее движения в направлении опускания груза М.

4

Условие неподвижности системы в случае

5

Условие неподвижности системы в случае рассматривается аналогично (4).

Ответ: система может находиться в покое при

Буксировочный горнолыжный подъемник устроен так, что буксировочный трос всегда направлен параллельно поверхности склона высотой Н=100 м и длиной основания L = 300 м. Какова мощность, развиваемая мотором подъемника, если одного горнолыжника массой в M = 75 кг он поднимает на вершину за t = 3 минуты?

Коэффициент трения лыж о снег μ=0.1, а КПД систем удержания и натяжения буксировочного троса η = 75%.

1

Второй закон Ньютона и определение величин сил трения

2

Работы силы тяжести и силы реакции опоры

3

Работа сил трения на элементарном отрезке пути δl, выраженная через длину элемента основания склона δL

4

Полная работа силы трения

5

Работа силы тяги, действующей на лыжника со стороны троса определяется из теоремы об изменении кинетической энергии.

6

Работа, совершаемая мотором подъемника и его мощность.

5*

Подстановка численных значений.

Ответ: развиваемая мотором мощность равна

После того, как на прикрепленную к полу идеальную пружину длиной L поставили и закрепили груз, ее длина уменьшилась на четвертую часть от начальной длины. Какую направленную вниз начальную скорость надо сообщить пружине для того, чтобы она смогла поднять груз на максимальную высоту 1.25L от уровня пола? Какова будет скорость груза в момент его, когда пружина будет недеформированной?

1

Условие равновесия груза в начальный момент

2

Закон сохранения энергии для расчета максимальной высоты подъема груза. За 0 потенциальной энергии выбрана точка на высоте L от пола.

3

Решение равнения (2) для начальной скорости груза

4

Закон сохранения механической энергии для расчета скорости груза на высоте L.

5

Упрощение (4) с учетом (1).

6

Скорость груза на высоте L.

5*

Проверка: не ударится ли груз о пол. Проверка необходима, поскольку про упругость пола в условии ничего не сказано

Ответ: начальная скорость груза , скорость в момент отсутствия деформации пружины

В аттракционе «мертвая петля» удалили часть дуги желоба в верхней части петли радиуса R так, что стягиваемый удаленной частью дуги угол составил 120⁰. С какой начальной высоты следует запустить безмоторную тележку для того, чтобы она благополучно приземлилась на противоположном краю разрыва желоба? Какую перегрузку испытают пассажиры в нижней части траектории? Трения нет.

1

Известный вывод известной формулы для дальности полета тела, впущенного под углом к горизонту.

2

Скорость, которую тележка должна иметь в точке разрыва «мертвой петли».

3

Высота точки старта

4

Использование закона сохранения энергии для вычисления скорости в нижней точке траектории

5

Использование второго закона Ньютона для расчета веса тела в нижней точке мертвой петли и перегрузки.

Ответ: тележку следует запустить с высоты , в нижней точке возникнет 6-кратная перегрузка.