Метод случайного поиска

В методе покоординатного спуска движение из точки производится шага­ми, направленными вдоль одной из осей координат. В методе градиента - шагами по направлению градиента. В случайном поиске шаг из данной точки осуществляется в случайном направлении.

При двух факторах в принципе можно поступить так. Нанести на график оси координат х₁ и х₂ и начальную точку (рис. 25.8). Затем бросить в график кусочек графита, целясь в точку 1. Линия, соединяющая точку 1 с точкой по­падания 2, и определит случайное направление.

Разумеется, практически случайное направление находят по-иному. Пользуясь формулой (25.9),

но x_ij находят не по формуле (25.10), а по соотношению

где а_ij — случайное число, которое обычно либо находят по таблицам случайных чисел, имеющимся в большинстве книг и справочников по теории вероятностей, математической статистике и теории эксперимента, либо рассчитывают на ЭВМ по специальным программам (генераторы случайных чисел).

Если шаг оказался удачным, обычно продолжают движение в том же направлении; если неудачным — рассчитывают новое слу­чайное направление.

Практика оптимизации показывает, что в ряде случаев (мно­го факторов, очень сложный вид поверхности, влияние ограни­чений) случайный поиск может оказаться эффективнее остальных методов.

Метод динамического программирования

Метод динамического программирования применяется для решения задач оптимизации многостадийных процессов с управлением на каждой стадии, а также процессов, которые могут быть математически описаны как многостадийные.

Такие процессы широко распространенны в химической технологии, где принцип последовательной переработки сырья является, по существу, основным.

Важнейшее понятие, которое часто используется в дальнейшем изложении, - стадия процесса. В качестве стадии принимается один из элементов, на совокупность которых можно провести разбиение процесса, как во времени развития, так и в пространстве изменения его параметров. При этом в первом случае под стадией понимается некоторый заранее выбранный отрезок времени, а во втором - отдельный аппарат в технологической цепи производства, элемент данного аппарата или, наконец, один из этапов проектирования в общем комплексе проектных работ.

Стадии в процессе могут быть однородными и неоднородными.

Процесс с однородными стадиями представляет собой последовательное изменение состояния объекта во времени либо состоит из последовательности однотипных аппаратов, в которой поток сырья проходит последовательную переработку (например, каскад реакторов).

Примером процесса с неоднородными стадиями является технологической участок химического производства, на котором исходное сырье последовательно перерабатывается в аппаратах различных типов (например, реактор-абсорбер-ректификационная колонна).

Состояние отдельной стадии процесса можно охарактеризовать совокупностью величин, которую назовем - выходом. Если выход стадии служит входом для следующей стадии, то для последней совокупность выходных параметров предыдущей стадии уже определяет состояние входа.

Кроме входных и выходных переменных на каждой стадии необходимо выделять группу управляющих воздействий, или управление. При отсутствии управления на стадии выделение ее теряет смысл, поскольку в данном случае выход стадии однозначно характеризуется ее входом и она не может рассматриваться как управляемое звено.

Многие процессы с распределенными параметрами, которые на первый взгляд нельзя представить как многостадийные из-за непрерывности изменения величин, определяющих их состояние и управление (например, реактор вытеснения), могут быть описаны как предельный случай многостадийного процесса, если в качестве отдельной стадии принять достаточно малый его элемент аналогично тому, как при решении дифференциальных уравнений численными методами используется их конечно-разностная форма.

Динамическое программирование применяется для оптимизации математически описанных процессов. Поэтому в дальнейшем для многостадийного процесса (рис. VI-1) предполагается известным математическое описание его каждой стадии, которое представляется в общем виде системой уравнений

связывающей выходные параметры i-й стадии x_k⁽ⁱ⁾ с выходными параметрами предыдущей стадии x_k^(i-1) и управлением u_l⁽ⁱ⁾ (l=1,..., r), используемым на i-й стадии.

Систему уравнений (VI,1) удобно также представить в векторной форме

причем x⁽ⁱ⁾ - вектор совокупности переменных состояния (или выход) i-й стадии:

u⁽ⁱ⁾ - вектор совокупности управляющих воздействий (управление) на i-й стадии:

Размерности векторов состояния x⁽ⁱ⁾ и управления u⁽ⁱ⁾ в общем случае могут быть различными для разных стадий процесса. Однако далее, не нарушая общности, можно принять, что размерности т и r векторов состояния и управления для всех стадий процесса одинаковы.

В реальных процессах на значения переменных состояния x⁽ⁱ⁾ управляющих воздействий u⁽ⁱ⁾ можно наложить ограничения, определяющие диапазон изменения или взаимосвязь указанных переменных. Математически это находит выражение в появлении дополнительных условий в виде равенств или неравенств которые должны учитываться при решении задачи оптимизации.

В дальнейшем при необходимости выразить, что значения переменных состояния x⁽ⁱ⁾ или управляющих воздействий u⁽ⁱ⁾ удовлетворяют ограничениям (VI,5), будет использоваться запись:

Смысл записи (VI,6) заключается в том, что значения переменных x⁽ⁱ⁾ и u⁽ⁱ⁾ принадлежат к допустимым областям их изменения X и U, ограниченным соотношениями (VI,5).

Предполагается, что эффективность каждой стадии процесса оценивается некоторой скалярной величиной заданной в виде функции состояния входа x^(i-1) на i-й стадии и используемого на ней управления u⁽ⁱ⁾.

Результирующая оценка эффективности многостадийного процесса в целом определяется как аддитивная функция результатов, получаемых на каждой стадии:

Естественно, что значение критерия оптимальности R_N (VI,9) зависит от совокупности u_n управляющих воздействий на всех стадиях процесса, которая представляет собой набор значений векторов u⁽ⁱ⁾ для каждой стадии:

Совокупность управлений для всех стадии процесса u_n будем называть в дальнейшем стратегией управления многостадийным процессом, или просто, стратегией управления.

Таким образом, задачу оптимизации многостадийного процесса можно сформулировать как задачу отыскания оптимальной стратегии для которой критерии оптимальности R_N (VI,9) принимает в зависимости от постановки оптимальной задачи максимальное или минимальное значение.