3. Теорема Бернулли и ее следствия

(176)

– уравнение Бернулли (1738 г.). Это уравнение связывает изменение давления с изменением скорости течения и геометрической высотой.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии для единицы объема жидкости:

– Е_к энергия единицы объема жидкости;

ρgh – Е_п энергия единицы объема жидкости в поле силы тяжести;

Р – работа силы давления при подъеме единицы объема на единицу высоты;

ρ – называется статистическим давлением;

– называется динамическим давлением.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых мало (вода, воздух).

Следствия:

1. Равномерное стационарное течение (v = const везде):

·g·h₁ + p₁ = ·g·h₂ + p₂;

P₁ – P₂ = ·g·(h₂ – h₁).

Разность давлений в двух сечениях равна весу столба жидкостей между ними, то есть

ΔР = Р₁ – Р₂ – равно гидростатическому давлению.

2. Горизонтальное стационарное течение (h₁ = h₂):

.

В местах сужений, где скорость возрастает, статистическое давление уменьшается (и наоборот).

3. Скорость истечения из отверстия.

Рис. 142

Напишем уравнение Бернулли для любой трубки тока: , . Полагая v2>>v1, получим . – формула Торричелли.

Вывод: скорость истечения такая же, как если бы частицы жидкости падали свободно с высоты H.

Опыт 8.6. Гидравлический удар (откупоривание бутылки)

Цель работы: продемонстрировать гидравлический удар.

Оборудование:

1. Закрытая бутылка с водой.

Рис. 143. Демонстрация опыта

Ход работы

Возьмем бутылку с водой и ударим ее по донышку. Видим, что пробка с нее слетела.

Вывод: удар придает импульс всей массе жидкости, сообщая ей скорость. Когда масса заходит в узкое горлышко бутылки и останавливается, возникает гидравлический удар, благодаря чему пробка вылетает.

Опыт 8.7. Падение давления вдоль трубы

Цель работы: продемонстрировать падение давления вдоль трубы.

Оборудование:

1. Жидкость.

2. Манометрические трубки, закрепленные на общей магистрали.

Рис. 144. Демонстрационная установка.

Ход работы

1. Наблюдаем, что в манометрических трубках, присоединенных к магистрали, жидкость, подкрашенная, установилась на одинаковой высоте. В конце магистрали имеется перекрытый кран.

2. Если открыть кран, пустив поток жидкости по трубе, то распределение давления вдоль трубы будет показано на распределении уровня в манометрических трубках.

3. Открываем кран. Жидкость начинает течь. Видим, что давление вдоль трубы действительно падает, приблизительно по линейному закону.

4. Если кран перекрыть, то вновь устанавливается постоянное давление вдоль трубы.

5. Открываем кран на полную мощность. Снова устанавливается линейное падение давления вдоль трубы.

Вывод: при ламинарном течении жидкости вдоль длинной магистрали устанавливается линейное распределение давления. По направлению потока жидкости давление падает.

Опыт 8.8. Втягивающее действие струи газа

Цель работы: продемонстрировать втягивающее действие струи газа.

Оборудование:

1. Газ.

2. Шарик.

3. Трубка.

Рис. 145. Демонстрация опыта.