Завдання для самостійної роботи

А 1. Знайдіть похідні функцій:

є) ;

ж) ;

з) ;

к) ;

л) ;

м) .

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

2. Для функції знайти:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Обчислити значення похідної функції в точці x₀, якщо:

а) ; б) ;

в) ; г)

Б 1. Знайдіть похідні функцій:

а) ; д) ;

б) ; е) .

в) ;

г) ;

2. Розв’язати рівняння , якщо:

а) ;

б) .

3. Знайти область визначення похідної функції:

а) ; б) .

4. Розв’язати рівняння , якщо .

В

1. Знайти точку графіка функції , у якій не можна побудувати до нього дотичну.

2. Знайти похідну функції:

а) в) г)

б) д)

3. Розв’язати нерівність , якщо:

а) ; б) .

Тема: Зростання, спадання та екстремуми функцій.

ПЛАН:

1. Ознаки зростання і спадання функції. Екстремум функції.

2. Застосування похідної до побудови графіків та їх досліджень.

3. Найбільше та найменше значення функції на проміжку.

Ознаки зростання і спадання функції. Екстремум функції

За допомогою похідної можна встановити проміжки зростання і спадання функції.

ОЗНАКА 1. Якщо f ' (x) > 0 на проміжку , то функція f (x) зростає

на цьому проміжку.

ОЗНАКА 2. Якщо f ' (x) < 0 на проміжку , то функція f (x) спадає на

цьому проміжку.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.

__________________________________________________________________________________

СХЕМА №1

Знаходження проміжків зростання та спадання

функції можна виконувати за таким планом:

1. Знайти область визначення заданої функції y = f (x).

2. Знайти похідну f ' (x).

3. Розв`язати нерівності ( методом інтервалів):

а) f ' (x) > 0, вказати проміжки зростання функції y = f (x);

б) f ' (x) < 0, вказати проміжки спадання функції y = f (x).

_________________________________________________________________________________

ОЗНАЧЕННЯ 1. Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, або не існує називаються критичними

(стаціонарними).

Ці точки розбивають область визначення функції на проміжки, в яких похідна зберігає сталий знак. ( Теорема Дарбу).

Розглянемо функцію y = f (x), яка визначена в деякому околі точки x₀ і має похідну в цій точці.

ТЕОРЕМА ФЕРМА: Якщо x₀ – точка екстремуму диференційованої

функції y = f (x), то f ' (x₀) = 0.

П`єр Ферма – французький математик ( 1601-1665)

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f ' (x₀) дорівнює нулю.

Усі точки екстремуму є стаціонарними ( обернене твердження невірне).

Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екстремуму ( максимуму або мінімуму функції).

ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x₀, а f ' (x) > 0 на

інтервалі ( а; x₀) і f ' (x) < 0 на інтервалі ( x₀; в), то

x₀ – точка максимуму.

ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x₀, а

f ' (x) < 0 на інтервалі ( а; x₀) і f ' (x) > 0 на

інтервалі ( x₀; в), то x₀ – точка мінімуму.

Або: якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „+” на „ -”, то ця стаціонарна точка є точкою максимуму;

якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „ -” на „+”, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.

СХЕМА № 2

Дослідження функції на екстремум.

1. Знайти область визначення заданої функції y = f (x).

2. Знайти похідну f ' (x).

3. Знайти критичні точки.

4. Відмітити критичні точки на координатній прямій, визначити знак похідної і дослідити характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на якій робимо область визначення.

5. Визначити відносно кожної критичної точки, чи є вона точкою максимуму, мінімуму або не є точкою екстремуму взагалі.

Приклад 1. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х³ - 3х².