Отже, маємо

dy = f'(x) · x (4)

Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.

На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:

dy = f' (x) dx (5)

Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх 0), безпосередньо знаходимо:

(6)

Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення:

Вираз (3) можемо записати ще так:

(7)

Звідки

де Якщо х 0, то й отже, і 0.

Зауважимо, що коли в точці х₀ похідна то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).

Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.

М аємо

PN = y, QN = MN tg

хf'(x) = f´(x) dx = dy.

Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x₀ і х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х₀ . Приріст функції у при цьому дорівнює приросту

ординати кривої. Таким чином, заміна приросту

функції на її Рис. 1

диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень x.

Ітак, сформулюємо геометричний зміст диференціалу:

Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка даної функції, коли аргумент отримує приріст .

Формули диференціювання.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Правила диференціювання:

I.

II.

III.

IV.

Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:

Інваріантність форми диференціала.

Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.

Нехай функції y = f (x) i x = (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( (t)). Якщо існують похідні у_х ' x_t ', то

(8)

Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = у_x '·dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = y_t'·dt.

Заміною похідної у_t' її виразом (8) одержимо

але (9)

тому

Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).

Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:

dy = y_x'dx

не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.