Р озв'язання

1. Область визначення функції: D(y) = R.

2. Знаходимо похідну у' = 3х² - 6х.

3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не­рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по­хідної: 3х² - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і ви­значаємо знаки похідної на кожному проміжку:

y'(-1) = 3 · (-1)² - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І² – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 3² – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.

а) у' > 0 в кожному із проміжків (- ; 0); (2; + ), отже, функція на цих проміжках зростає.

б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.

Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (- ;0);(2;+ ); спадає на проміжку (0; 2).

Приклад 2. Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х³ – 3х.

Розв'язання

1. Область визначення даної функції — R.

2. Знайдемо f`(x): f`(x) = (x³ - 3x)' =3х²- 3. Похідна існує для всіх x є R.

3. Знайдемо стаціонарні (критичні) точки: f(x) = 0, 3х² - 3 = 0, х² — 1 = 0, x = ±1.

4. Н аносимо область визначення та стаціонарні точки на коор­динатну пряму (рис. 48) і визна­чимо знак похідної на кожному проміжку:

f`(-2) = 3 · (-2)² - 3 = 9 > 0;

f`(0) = 3 · (0)² - 3 = -3 < 0;

f`(2) = 3 · (2)² - 3 = 9 > 0.

5. Точка х = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: х_max = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: х_min = 1.

Відповідь: х_max= -1, х_min= 1.

П риклад 3. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х⁴ - 4х³.

Розв'язання

1. Область визначення функції — R.

2. Знайдемо похідну:

f`(x)= (x⁴ – 4х³) = 4x³ – 12х² = 4x²(х – 3).

3. Знайдемо стаціонарні (критичні) точки: f`(x) = 0, 4x²(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

4. Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кож­ному інтервалі.

5. x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: х_min= 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, у_min = f(3) = 3⁴ – 4 · 3³ = – 27.

Відповідь: у_min = f(3) = – 27.

Застосування похідної до побудови графіків та їх досліджень.

Однією із основних задач математики є дослідження функції. Використання похідної значно полегшує задачу дослідження функції, а разом з тим і побудову її графіка.

СХЕМА

Дослідження функції і побудови її графіка:

1. Знаходимо область визначення функції.

2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями.

3. З'ясовуємо парність (непарність), періодичність функції.

4. Знаходимо похідну та стаціонарні точки.

5. Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму та екстремальні значення функції.

6. З'ясовуємо поведінку функції на кінцях області визначення.

7. На підставі проведеного дослідження будуємо графік функції.

Слід мати на увазі, що не завжди треба чітко виконувати вказаний план. Наприклад, не завжди ми зможемо знайти точ­ки перетину графіка з віссю ОХ (тобто нулі функції), навіть, якщо вони і існують. Інколи додатково знаходять координати деяких точок.

Приклад 1. Дослідіть функцію f(x) = х³ - 3х² і побудуйте її графік.