Поняття похідної.

Ці дві задачі розв’язуються одним і тим же самим способом, який складається з таких етапів:

1. Незалежній змінній x надаємо приросту ∆x.

2. Знаходимо приріст залежної змінної - ∆y.

3. Знаходимо відношення .

4. Знаходимо .

О₃ Похідною функції y=f (x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто:

.

Функцію, яка має скінчену похідну в точці x , називають диференційованою в цій точці.

Обчислення похідної називають диференціюванням.

Позначення похідної: y '(x), f '(x ) ( за Лагранжем) або (за Лейбніцем).

З означення похідної випливає, що похідна y '(x), в точці x є числом. Але якщо таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку ( a, b) , то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.

Якщо , тоді функція f(x) має в точці x нескінченну похідну.

Порівнюючи одержані результати першої і другої задач із означенням похідної, можна зробити висновок:

якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s ^'(t):

V(t) = S^'(t) - механічний зміст похідної.

Приклад 1.

Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t² + t + 3 (s — шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки:

а) в довільний момент t₀; б) в момент часу t = 2 с.

Розв'язання

а) 1) нехай значення аргументу t₀ одержало приріст Δt, тоді t₁ = t₀ + Δt .

2) Знайдемо відповідний приріст шляху

Δs = s(t₀ + Δt) - s(t₀) = 5(t₀ + Δt)² + (t₀ + Δt) + 3 – (5 t₀² + t₀ + 3) = 5 t₀² +10 t₀ Δt + 5Δt² + t₀ + Δt + 3 – 5t₀² – t₀ – 3 = 10t₀Δt + 5Δt² + Δt.

3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (се­редню швидкість):

4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приро­сту часу (середньої швидкості):

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t₀ дорівнює 10t₀ + 1.

Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.

б) Якщо t = - 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21 ;

Відповідь: а) 10t + 1; б) 21 .

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y=f (x) в точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀ :

f ^'(x₀)= k= tg ά.

Фізичний зміст похідної:

1. Миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції, яка виражає залежність пройденого шляху від часу :

2. Сила струму є похідна від функції, яка виражає залежність кількості електрики , яка протікає за час : якщо , то .

3. Кутова швидкість обертання тіла навколо осі є похідна від функції, яка виражає залежність кута повороту тіла відносно осі від часу :

якщо , то .

4. Лінійна густина матеріальної лінії в даній точці є похідна від функції, яка виражає залежність маси від довжини цієї лінії:

якщо , то

5. Теплоємність тіла при даній температурі є похідна від функції, яка виражає залежність кількості тепла від температури :

якщо , то .

6. Швидкість хімічної реакції є похідною від функції, яка виражає залежність кількості речовини , яка вступила в реакцію від часу :

якщо , то

Таблиця похідних:

• Похідні степеневих функцій.

для всіх цілих n виконується рівність: (xⁿ)' = nx^{n – 1}.