Статистические оценки числовых характеристик случайных величин

Определение статистических оценок производится преимущественно с помощью моментов эмпирического распределения, которые являются состоятельными оценками соответствующих моментов теоретического распределения.

Эмпирический начальный момент k-го порядка определяется равенством:

Начальный момент нулевого порядка равен единице.

Начальный момент первого порядка обозначают и называют обычно «среднее» (среднее выборочное, среднее арифметическое):

Это среднее является несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания теоретического распределения.

Начальный момент второго порядка называют средним квадратом.

Эмпирическим центральным моментом k-го порядка называется величина:

Первый центральный момент равен нулю.

Второй центральный момент обозначают часто s².

Величина является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии теоретического распределения.

В связи с этим (особенно при n<=40-50) следует применять несмещенную состоятельную оценку дисперсии:

В задачах математической статистики используются величины:

которые являются состоятельными, но смещенными оценками среднего квадратического отклонения (СКО) теоретического распределения.

Величину s₁ иногда называют стандартом (стандартным отклонением).

При желании получить несмещенную состоятельную оценку s₂ среднее квадратическое отклонение (СКО) нормального распределения следует пользоваться формулой:

где Г – гамма-функция.

При достаточно большой выборке (не менее 30-40) для суждения о виде теоретического распределения привлекаются третий и четвертый центральные моменты, с помощью которых вычисляются оценки асимметрии и эксцесса:

g₁ = m₃/s²

g₂ = m₄/s⁴-3

Статистические оценки параметров распределения

Генеральная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁, x₂,…,x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то:

=( x₁, x₂,…,x_N)/N

Если же значения признака x₁, x₂,…,x_k имеют соответственно частоты N₁, N₂, …, N_k, причем N₁ + N₂ + … + N_k = N, то:

= (x₁N₁ + x₂N₂ +…+ x_kN_k)/N,

то есть генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, x₂,…,x_n признака выборки объема n различны, то:

= (x₁, x₂,…,x_n)/n

Если же значения признака x₁, x₂,…,x_n имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n или:

то есть выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема n со значениями признака x₁, x₂,…,x_n. Будем считать эти значения признака различными.

Пусть генеральная средняя x_г неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки.

В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю:

= (x₁, x₂,…,x_n)/n

В математической статистике доказывается, что - несмещенная оценка, то есть математическое ожидание этой оценки равно x_г. Таким образом, выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней. Кроме того, при увеличении объема выборки n выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней, то есть она является и состоятельной оценкой генеральной средней. Из этого следует также, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних.

Чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной средней.

Например, если из одной генеральной совокупности отобран 1% объектов, а из другой – 4%, причем объем первой выборки оказался большим, чем второй, то первая выборочная средняя будет меньше отличаться от соответствующей генеральной средней, чем вторая.