Групповая и общая средние

Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп.

Пример:

Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп:

	Группа 1		Группа 2
Значение признака	1	6	1	5
Частота	10	15	20	30
Объем	10+15=25		29+30=50

Решение:

Найдем групповые средние:

=(10*1+15*6)/25=4;

=(20*1+30*5)/50=3,4.

Найдем общую среднюю по групповым средним:

=(25*4+50*3,4)/(20+50)=3,6.

Для упрощения расчетов общей средней совокупности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним общую среднюю.

При рассмотрении общей средней необходимо учитывать такое понятие, как отклонение от общей средней.

Отклонением от общей средней называют разность x_i - между значением признака и общей средней.

Генеральная дисперсия

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения x₁, x₂,…,x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то:

Если же значения признака x₁, x₂,…,x_k имеют соответственно частоты N₁, N₂, …, N_k, причем N₁ + N₂ + … + N_k = N, то:

то есть генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Пример:

Найти генеральную дисперсию, если генеральная совокупность задана следующей таблицей распределения:

xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Решение:

Найдем генеральную среднюю:

= (8*2+9*4+10*5+3*6)/(8+9+10+3)=120/30=4.

Найдем генеральную дисперсию:

D_г=(8*(2-4)²+9*(4-4)²+10*(5-4)²+3*(6-4)²)/30=54/30=1,8

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:

Выборочная дисперсия

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_в называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения x₁, x₂,…,x_n признака выборки объема n различны, то:

Если же значения признака x₁, x₂,…,x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то:

Таким образом, выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Пример:

Найти выборочную дисперсию, если выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:

xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

= (20*1+15*2+10*3+5*4)/(20+15+10+5)=100/50=2.

Найдем выборочную дисперсию:

D_в =(20*(1-2)²+15*(2-2)²+10*(3-2)²+5*(4-2)²)/50=50/50=1.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: