Тема 7.4. «Статистические гипотезы.»

Учебные вопросы:

1.Статистические гипотезы.

2.Критерии проверки статистических гипотез.

3.Ошики первого и второго рода при проверке статистических гипотез.

4.Проверка гипотезы о нормальном распределении ген. совокупности.

1.Статистические гипотезы.

Проверка статистических гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров. В естествознании, технике, экономике для выяснения того или иного случайного факта часто прибегают к высказыванию гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими подразумеваются такие гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины. Например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются.

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина X, распределение которой   неизвестно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся   называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение  , то есть  , где   какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения   к некоторому семейству распределений, то есть вида  , где   - семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу H₀. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза H₁, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке   фиксированного объема   из распределения  . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому ее объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка   из нормального распределения, где μ — неизвестный параметр. Тогда  , где μ₀ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней   — сложной.

2.Критерии проверки статистических гипотез.

1. Формулировка основной гипотезы H₀ и конкурирующей гипотезы H₁. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

2. Задание вероятности α, называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.

3. Расчёт статистики φ критерия такой, что:

   • её величина зависит от исходной выборки  ;

   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы H₀;

   • сама статистика φ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама φ является случайной в силу случайности  .

4. Построение критической области. Из области значений φ выделяется подмножество   таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство  . Это множество   и называется критической областью.

5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику φ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область   выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H₀.