4.3.3.3. Метод выбора на базе бинарных отношений

Метод выбора на базе бинарных отношений основан на том факте, что в практической деятельности бывает трудно дать оценку отдельно взятой альтернативе, однако если рассматривать её не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна. Таким образом, основные положения этого метода заключаются в следующем:

• отдельная альтернатива не оценивается, то есть критериальная функция не вводится;

• для каждой пары альтернатив x и y некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительней другой или они равноценны;

• отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от других элементов множества альтернатив.

Математическое бинарное отношение R на множестве X определяется как некоторое подмножество упорядоченных пар (x, y). Используется обозначение x R y, если x находится в отношении R с y, и x R y — в противоположном случае. Задать отношение — это значит тем или иным способом указать все пары (x, y), для которых выполнено отношение R, являющиеся подмножеством полного бинарного отношения, то есть R ⊆ X * X.

Существует четыре разных способа задания отношений (схема № 3), предпочтительность каждого из них определяется характеристиками множества X.

Схема № 3. Способы описания выбора на базе бинарных отношений.

Первый способ задания отношений — самый очевидный, он состоит в непосредственном перечислении пар.

При использовании второго способа задания отношений все элементы нумеруются и отношения определяются элементами матрицы a_ij = {1 : x_i R x_j; 0 : x_i R x_j}, где значения i, j изменяются от 1 до n — количества элементов множества X. На практике, отношение может выражаться любой скалярной величиной, характеризующей свойство этого отношения.

Третий способ задания отношений — построение графа предпочтений, вершинами которого являются пронумерованные элементы множества X, если x_i R x_j, то от вершины x_i проводят направленную дугу к вершине x_j; в случае x_i R x_j дуга не проводится.

Для определения отношений на бесконечных множествах альтернатив используется четвёртый способ задания отношений — задание отношений R сечениями.

Множество R + (x) = {y ∈ X | (y, x) ∈ R} называется верхним сечением — это множество всех y ∈ X, которые находятся в отношении y R x, с заданным элементом x ∈ X. Множество R – (x) = {y ∈ X | (x, y) ∈ R} называется нижним сечением — это множество всех y ∈ X, с которыми заданный элемент x находится в отношении R. Отношение однозначно определяется одним из своих сечений. Предпочтительность альтернативы задаётся через строго определяемые отношения эквивалентности, порядка и доминирования.

4.3.3.4. Метод выбора на основании функции выбора

Метод выбора на основании функции выбора возник из-за того, что в действительности предпочтение между двумя альтернативами часто зависит от остальных. Кроме того, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще не имеет смысла. Например, когда в случае по отношению к множеству альтернатив применяются правила выбора «типичного», «среднего», «наиболее отличного, оригинального» и так далее.

Указанный способ описывает выбор, как операцию над произвольным множеством альтернатив X, которая ставит этому множеству в соответствие некоторое предпочтительное подмножество C(X): C(X) ∈ X.

Функция выбора как отображение совокупности множеств в совокупность множеств без поэлементарного отображения одного множества на другое и без отображения множеств на числовую ось является своеобразным и пока ещё не полно изученным математическим объектом.

Следует отметить, что серьёзное влияние на выбор того или иного варианта решения оказывает система выделенных в задаче ограничений — условий, отражающих влияние внешних и внутренних факторов, которые нужно учитывать в задаче принятия решений. Требования системности при рассмотрении вопроса требуют учёта всех возможных ограничений: организационных, экономических, правовых, технических, экологических, психологических и так далее. При этом качественные ограничения формулируются, как правило, в терминах «не разрешается», «не допускается», а количественные — «не более», «не менее», «в интервале от-до». Ограничения, как правило, дополняют (конкретизируют) сформулированные ранее цели и в ряде случаев могут сделать цели нереализуемыми. В этом случае необходимо через проведение ряда итерационных процедур снять часть ограничений или переформулировать цели.