6.2. Ожидаемая доходность и риск портфеля.

Принцип формирования портфеля, заключающийся в распределении средств по различным видам активов в целях снижения рисков называется диверсификацией.

Любая экономическая проблема сводится к задаче наилучшего распределения ресурсов. Любой экономический субъект - отдельный человек, предприятие, либо правительство, сталкивается с вопросом – как распределить имеющиеся в его распоряжении ресурсы – материальные, финансовые, человеческие, и т.д. Экономическая теория исходит из того, что любой субъект, принимая решение, стремиться к наибольшей выгоде, то есть, действует рационально. Этот же принцип лежит в основе решений о наилучшем инвестировании.

Что лучше для данного инвестора: держать свои сбережения под подушкой, разместить их на банковском депозите, дать взаймы государству, купить акции предприятия А или В? Ответ на этот вопрос не очевиден.

На этом занятии мы с Вами рассмотрим основные принципы так называемой современной портфельной теории (modern portfolio theory, MPT) – теории, которая пытается дать обоснованные ответы на поставленные вопросы. Начало современной портфельной теории было положено революционной работой Гарри Марковица в 1952 году. Результаты Марковица были развиты и дополнены не менее известными работами Джеймса Тобина, Вильяма Шарпа и других исследователей. Важность этих разработок для развития современной экономики и финансов подчеркивает Нобелевская премия по экономике, которой были удостоены перечисленные выше экономисты, в первую очередь, за развитие современной портфельной теории.

Итак, рассмотрим выбор инвестора, располагающего богатством W и решающего задачу – каким образом использовать это богатство? Пусть на фондовом рынке в данный момент времени находятся в обращении n видов ценных бумаг, каждая из которых может принести инвестору соответственно , , …, (греческая буква «кси») рублей дохода в расчете на 1 рубль вложений. Наиболее существенной проблемой для принятия решения является то, что величины являются случайными, то есть каким именно будет доход, заранее неизвестно.

Главным предположением, которое принял Гарри Марковиц, анализируя эту задачу, является то, что для инвестора, при оценке альтернативных решений, важными являются только два параметра: первый ожидаемая доходность инвестиций

(6.8),

ожидаемая доходность (греческая буква «мю») равна математическому ожиданию доходности выбранных активов, второй – стандартное отклонение доходности, как показатель, характеризующий риск принимаемого решения

(6.9).

Стандартное отклонение (сигма) есть корень квадратный из дисперсии доходности ценных бумаг.

Другим, не менее важным предположением, является следующее: инвестор не обязательно должен выбрать какое-то одно решение, он может выбрать любую комбинацию возможных инвестиций, распределяя своё богатство по различным направлениям вложений.

Оказывается, что проблема выбора в этом случае существенно упрощается. Пусть ( i = 1, … n) – это доля от общего объёма богатства, инвестируемого в i-й актив. Сформированную таким образом комбинацию инвестиций мы будем называть портфелем. Инвестору необходимо выбрать портфель, ожидаемая доходность и стандартное отклонение которого были бы для него наилучшими.

Прежде всего, необходимо установить какова средняя (ожидаемая) доходность портфеля ценных бумаг. Доходность портфеля определим как прирост богатства в расчёте на единицу вложений к моменту времени, рассматриваемому в качестве планового горизонта

(6.10),

где W – сегодняшний размер богатства, - размер богатства на конец периода. Доходность портфеля можно рассчитать как взвешенную по объемам инвестиций доходность каждого входящего в портфель актива:

(6.11).

Ожидаемая доходность портфеля определяется по формуле математического ожидания суммы случайных величин:

=

= (6.12).

Таким образом, ожидаемая доходность инвестиционного портфеля – это средневзвешенная по долям инвестиций ожидаемая доходность каждого из активов, входящих в портфель.

Пример. Через год цена акции может достигнуть следующих значений с соответствующими вероятностями: 40 руб. с вероятностью 30%, 50 руб. с вероятностью 50%, 60 руб. с вероятностью 20%. Найти математическое ожидание цены акции.

Решение. По формуле (6.10) математическое ожидание цены = 40 * 0.3 + 50 * 0.5 + 60 * 0.2 = 49.

Дисперсия доходности портфеля рассчитывается как дисперсия суммы случайных величин. Напомним, что если и - случайные величины, то

(6.13),

где cov() – коэффициент ковариации случайных величин и . Таким образом, для портфеля

=

= (6.14).

Вспомним, что (6.15),

тогда (6.16).

Стандартное отклонение портфеля , тем самым, равно

(6.17).

В таблице 6.6 приведены формулы оценивания для нескольких важнейших характеристик портфеля ценных бумаг.

Таблица 6.6.

Формулы оценивания важнейших характеристик портфеля ценных бумаг.

Характеристики генеральной совокупности	Формулы оценивания
1) Средняя доходность
2) Оценка дисперсии
3) Стандартное отклонение (риск)
4) Выборочная ковариация	Cov( ) =
5) Коэффициент корреляции

Пример. Доходность двух активов за 8 периодов представлена в таблице. Определить коэффициент выборочной ковариации.

	1	2	3	4	5	6	7	8
Актив Х	12	15	17	9	7	-5	-2	7
Актив Y	13	16	19	14	12	-8	-6	11

Решение. По формуле (1) в таблице 1: 7.5; 8.875;

по формуле (4) = 65.68.

Рассмотрим портфель, состоящий из двух видов ценных бумаг: акций с ожидаемой доходностью 12% и облигаций, доходность по которым равна 5.1%. Стандартное отклонение акций 21.2%, об­лигаций – 8.3%.

Варьируя портфельные веса включенных в состав портфеля активов, можно добиться оптимального портфеля с точки зрения применяемого типа активов. Результат такого варьирования мо­жет быть представлен в табл. 6.7.

Таблица 6.7.