2. Состояние фондового рынка рф

1.2.1 Построение и описание прогнозной модели состояния фондового рынка Российской Федерации

Для определения прогнозного значения доходности индекса РТС была разработана трехфакторная модель, позволяющая спрогнозировать значение доходности индекса РТС, с использованием инструментария регрессионного и корреляционного анализ. В разработке данной модели можно выделить основные этапы.³.

1. Выявление возможных экзогенных факторов, воиёющих на дохожность фондового индекса.

2. Подобор статистической информации о прошлых значениях этихм факторов.

3. Проверка распределения вероятностей каждого фактора на его подчинение нормальному закону распределния.

4. Выявление коэффициента парной линейной корреляции каждого фактора (нормально распределенного) с результирующим показателем.

5. Объединение объясняющих факторов и фактора, имеющего значимую корреляцию с результирующим показателем.

6. Полное формирование модели.

7. Проверка модели на значимость.

8. Нахождение частных коэффициентов парной корреляции каждой переменной с целью недопущения мультиколлинеарности факторов.

При процессе построения модели рассматриваются следующие макроэкономические факторы:

– темп прироста портфельных иностранных инвестиций в экономике;

– темп изменения процентной ставки по депозитам;

– темп изменения ставки рефинансирования ЦБ РФ;

– темп прироста денежной массы;

– темп прироста безналичной денежной массы;

– темп прироста ВВП (в реальном исчислении);

– темп прироста цены на нефть (NYMEX);

– темп прироста цены на золото;

– темп изменения процентной ставки по кредитам.

Из всех выделенных факторов были отобраны три, имеющие корреляцию с результирующим показателем, отличающуюся от нуля сильнее остальных. Среди них:

– темп прироста цены на нефть;

– темп прироста безналичной денежной массы;

– темп прироста ВВП.

2. Составление прогноза фондового рынка рф

Используемые в модели темпы прироста, брались за квартальный период с 2005 по 2015 год. Так как для большинства макроэкономических показателей отсутсвует статистика за месячный период, был выбран квартальный период.. Доходность индекса РТС определялась по формуле

y = ln(RTS1/RTS0)·4 , (1)

где y – доходность индекса РТС,

RTS1, RTS0 – последние значения индексов РТС рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно.

Из формулы (1) следует, что доходность индекса РТС вычислена по схеме непрерывного процента.

Темп прироста цены на нефть в годовом исчислении рассчитывался по формуле

x1 = ln(P1/P0)·4 , (2)

где x1 – темп прироста цены на нефть в годовом исчислении,

P1, P0 – цена закрытия на нефть марки Brent (NYMEX) рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно.

Темп прироста цены на нефть (2) вычислен по схеме непрерывного процента.

Темп прироста безналичной денежной массы в годовом исчислении рассчитывался по формуле

x2 = ln(DM1/DM0)·4 , (3)

где x2 – темп прироста безналичной денежной массы в годовом исчислении,

DM1, DM0 – объемы безналичной денежной массы в рублях на 1-е число следующего за рассматриваемым и рассматриваемого кварталов соответственно.

Темп прироста безналичной денежной массы (3) рассчитан по схеме непрерывного процента.

Темп прироста ВВП в годовом исчислении рассчитывался по формуле

x3 = ln(TGDP1/TGDP0)·ty/tq , (4)

где x3 – темп прироста ВВП в годовом исчислении,

TGDP1, TGDP0 – темпы роста реального ВВП рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно в процентах к ВВП 1995 года,

ty и tq – количество рабочих дней в году и квартале соответственно.

Все вышеприведенные три фактора и результирующий показатель во времени являются случайными процессами (X1(t), X2(t), X3(t), Y(t)). Введем предположение об их статистической стационарности. Тогда можно считать значения x1i, x2i, x3i, yi в каждом квартале случайным исходом испытания, а несмещенные состоятельные оценки параметров распределения случайных величин можно определить выборочным методом.

Между величинами X1, X2, X3, Y может быть только линейная зависимость, если они распределены по нормальному закону распрделния

Покажем, что случайная величина Y распределена по нормальному закону.

По эмперическим данным можно вычислить несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров. Для этого диапазон значений Y разбивается на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определяются значения эмпирических частот, а затем и частости Y. Исходя из полученных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

E(Y) = 0.3558 ,

S2(Y) = 1.4004 .

Для опредения выдивагается нулевая гипотеза H0: случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ2 (Y ~ N(a; σ2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия χ2 – критерий Пирсона. Статистические и гипотетические вероятности попадания Y в интервал представлены в табл. 5.

Таблица 1 Статистические и гипотетические вероятности попадания Y в интервал

Интервал		-94.66%	-38.22%		18.21%			74,64%		131.07%		187.50%
Статистическая вероятность	0.054054			0.1621621		0.1891	0.2432		0.2162162		0.1351
Гипотетическая вероятность	0.044289			0.1274841		0.2321	0.2676		0.1952738		0.0901

χ2 = 6.188044.

Поскольку χ2 0.05;3 = 7.814728, следовательно χ2 £ χ2 α;k, то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Докажем, что случайная величина X1 распределена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным. Для этого диапазон значений X1 был разделен на 6 равных интервалов, после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частости X1. Исходя из полученных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

E(X1) = 0.1543 ,

S2(X1) = 0.6227 .

Выдвигаем нулевую гипотезу H0: случайная величина X1 имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ2 (X1 ~ N(a; σ2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия χ2 – критерий Пирсона. Так как количество попаданий во второй интервал меньше 5, то целесообразно объединить первый интервал со вторым. Статистические и гипотетические вероятности попадания X1 в интервал представлены в табл. 6.

Таблица 2 Статистические и гипотетические вероятности попадания X1 в интервал

Интервал	-12.13%	37.33%	86.80%	136.26%	185.72%
Статистическая вероятность	0.257143	0.371429	0.285714	0.057142857	0.028571
Гипотетическая вероятность	0.307927	0.308454	0.236628	0.099712016	0.023042

χ2 = 1.782047.

Поскольку χ2 0.05;2 = 5.991465, а следовательно χ2 £ χ2 α;k, то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Покажем также, что случайная величина X2 распределена по нормальному закону. Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно вычислить по эмпирическим данным. Для этого диапазон значений X2 был разбит на 6 равных отрезков, после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частости X2. Исходя из полученных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

E(X2) = 0.1543 ,

S2(X2) = 0.6227 .

Выдвигаем нулевую гипотезу H0: случайная величина X2 имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ2 (X2 ~ N(a; σ2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия χ2 – критерий Пирсона. Первыи интервал был объединен со вторым так, как количество попаданий во второй интервал меньше 5. Статистические и гипотетические вероятности попадания X2 в интервал представлены в табл.6.

Таблица 3 Статистические и гипотетические вероятности попадания X2 в интервал

Интервал	11.57%	24.45%	37.32%	50.20%	63.07%	75.95%
Статистическая вероятность	0.11428	0.14285	0.25714	0.14285	0.28571	0.05714
Гипотетическая вероятность	0.06611	0.15981	0.24919	0.25076	0.16284	0.06822

χ2 = 6.232993.

Поскольку χ2 0.05;3 = 7.814728, а следовательно χ2 £ χ2 α;k, то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина X3 распределена по нормальному закону.

Можно заметить, что временной ряд не строго стационарный. Известно, что самые резкие темпы прироста ВВП приходятся на трейти квартал года, а самое серьезное снижение – в первом квартале.

Даже если дисперсии будут равны, математическое ожидание случайной величины зависит от номера квартала. Приведем динамический ряд к стационарному виду, нивелируя влияние сезонного фактора.

Их вычисление производилось по следующему алгоритму:

, (6)

Где – среднее значение темпа прироста ВВП за j квартал,

– темп прироста ВВП в j квартале в год k, E(X3) – среднее значение случайной величины X3, рассчитанное по данным сгруппированного вариационного ряда.

Результаты расчета индексов сезонности представим в табл. 7.

Таблица 4 Индексы сезонности для ВВП в реальном исчислении (в%)

Год	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
2008		9.48	30.24	-24.06
2009	-25.56	29.07	59.51	-21.88
2010	-28.11	24.77	60.86	-30.15
2011	-41.43	20.54	62.14	-28.89
2012	-44.47	22.79	62.40	-22.68
2013	-38.56	24.29	55.84	-17.02
2014	-40.60	25.27	54.56	-18.36
2015	-59.24	31.49	50.42	0.94
2016	-71.60	39.13	49.63	4.38
среднее	-43.70	25.20	53.96	-17.52

Значения скорректированных уровней ряда получены по формуле:

(7)

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным. Для этого диапазон скорректированных значений X3 был разделен на 6 равных отрезков, после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частостей X3. Исходя из полученных скорректированных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

E(X3) = 0.0788,

S2(X3) = 0.1074.

Выдвигаем нулевую гипотезу H0: случайная величина X3 имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ2 (X3 ~ N(a; σ2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия χ2 – критерий Пирсона. Статистические и гипотетические вероятности попадания X3 в интервал представлены в табл. 8.

Таблица 5

- Статистические и гипотетические вероятности попадания X3 в интервал

Интервал	-12.04	-3.74	4.56	12.86	21.16	29.47
Статистическая вероятность	0.057143	0.114286	0.171429	0.371429	0.142857143	0.142857
Гипотетическая вероятность	0.027546	0.107919	0.239101	0.29997	0.213183683	0.085774

Отсюда, χ2 = 4.533912 .

Поскольку χ2 0.05;3 = 7.814728, а следовательно χ2 £ χ2 α;k, то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.

Так как случайные величины X1, X2, X3, Y имеют нормальный закон распределения, то связь между ними может быть только линейной, и модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

yi = β0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + εi , (8)

где β0, β1, β2 и β3 – неизвестные параметры,

εi – возмущение (случайная ошибка).

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

yi = b0 + b1x1i + b2x2i + b3x3i + ei (9)

Определить вектор неизвестных параметров, можно используя элементы линейной алгебры и метод наименьших квадратов.

b0 = –1.07296; b1 = 0.50645; b2 = 3.16038; b3 = –0.0182.

Полученные результаты объяснимы с экономической точки зрения. С ростом цены на нефть происходит увеличение вероятности высокой цены в будущем, вычисленной по ретроспективе. Это увеличивает ожидаемые доходы российских топливно-энергетических фирм и, как следствие, справедливую стоимость топливно-энергетического бизнеса⁴. Рыночная цена топливно-энергетических фирм является значительной долей капитализации индекса РТС. Повышение безналичной денежной массы приводит к увеличению инвестиционной активности институциональных инвесторов и корпораций и, безусловно, способствует росту фондового рынка.

Таким образом, математическое ожидание Y при конкретных значениях факторов неопределенности можно вычислить по формуле

E (Y)i = –1.07296 + 0.50645 · x1i + 3.16038 · x2i – 0.0182 · x3i . (10)

Множественный коэффициент корреляции R для данной модели

R = 0.64814.

Коэффициент детерминации R2 для данной модели

R2 = 0.42014.

Можно сделать вывод, что изменчивость выбранных факторов приближенно на 42% объясняет изменчивость зависимой переменной.

Используя F-критерий Фишера–Снедекора, проверим значимость уравнения регрессии на уровне значимости α = 0.05.

Если известен коэффициент детерминации R2, то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

F = R2·(n – p – 1) / ((1 – R2) ·p) > Fα;k1;k2 , (11)

где k1 = p, k2 = n – p – 1; p – количество объясняющих переменных;

n – количество элементов в выборке.

Для данной модели:

F = 11.5903,

F0 (05;3;31) = 2.9113.

Поскольку F > F(α;k1;k2), то можно сделать вывод, что уравнение множественной регрессии значимо.

Многофакторную модель необходимо проверить на мультиколлинеарность факторов, для обеспечения достоверности прогноза. Необходимо, чтобы объясняющие переменные были независимыми случайными величинами. Для этого были рассчитаны выборочные частные коэффициенты парной корреляции факторов, их значения

rx1x2 = 0.0727; rx1x3 = –0.0314; rx2x3 = 0.1029.

Из приведенных рассчетов следует, что мультиколлинеарность факторов отсутствует так, как выборочный коэффициент частной парной линейной корреляции много меньше 0.7 для всех объясняющих переменных. Доверительный интервал для математического ожидания Ex0(Y) примет вид

yX0 – t1-α;n-p-1·sYx £ EX0 (Y) £ yX0 + t1-α;n-p-1·sYx, (12)

где sYx характеризует изменчивость зависимой переменной в результате колеблемости объясняющих переменных.

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной y0 примет вид:

yX0 – t1-α;n-p-1·sY0 £ y0 £ yX0 + t1-α;n-p-1·sY0, (13)

где sY0 характеризует изменчивость зависимой переменной как в результате колеблемости объясняющих, так и под воздействием случайных, неучтенных в модели факторов.

Спрогнозируем значение индекса РТС на основе значений факторов, заложенных в Прогнозе социально-экономического развития Российской Федерации до 2015 г. В данном документе определены прогнозные значения темпов роста ВВП и цены за 1 баррель нефти.

Темпы роста ВВП в 2016 году составят -1,2%, в 2017 – 1.1%, в 2018 – 2,3%.

Отсюда логарифмический темп прироста ВВП в 2016 г. составит 6.3%, в 2017 г. – 5.9%, в 2018 г. – 5.8%.

Цена за 1 баррель нефти в 2016 г. Составит 47 долл. США, в 2017 г. – 49 долл. США, в 2018 г. – 50 долл. США.

Прогнозный темп прироста безналичной денежной массы определим, проанализировав временной ряд и найдя уравнение линии тренда.