2.4. Проверка гипотез о средней и о доле

В статистической практике наиболее часто проверяются два вида гипотез о средних величинах:

1) гипотеза о равенстве средней величины установленному нормативу;

2) гипотеза о равенстве средних значений признака двух совокупностей.

Предположим, что проверке подлежит гипотеза о среднем значении признака в генеральной совокупности H_о : . Альтернативная гипотеза может быть сформулирована следующим образом: H₁ : , H₁ : или H₁: .

В качестве критерия в этом случае целесообразно использовать нормированное отклонение выборочной средней от заданной величины:

где – средняя квадратическая ошибка выборочной средней, то есть средняя

ошибка выборки.

При большом объёме выборки ( ≥ 30) рассчитывается по формуле

, а при n<30 – по формуле .

Если полученное по результатам обследования расчётное значение t − статистики меньше табличного, т.е. t_расч < t_табл. , то гипотеза не отклоняется. В противном случае нулевую гипотезу следует отклонить.

Например. При оценке влияния изменений в налоговой политике на платёжеспособность предприятий одного из регионов установлено, что до указанных изменений средний коэффициент покрытия по этим предприятиям соответствовал нормативу, равному 2. После внесения изменений в действующую налоговую систему было проведено выборочное обследование 49 предприятий региона, в результате которого установлено, что средний коэффициент покрытия на них составил 1,7 при среднем квадратическом отклонении 0,6.

Выдвинутая нулевая гипотеза состоит в том, что изменения в проводимой налоговой политике существенно не повлияли на платёжеспособность предприятий региона, то есть коэффициент покрытия остался на прежнем уровне H_о : . В качестве альтернативной может быть рассмотрена гипотеза о том, что указанные изменения повлияли на степень платёжеспособности предприятий:

Для проверки выдвинутой гипотезы примем уровень значимости . Так как вероятность Р , а n>30, то для значения интеграла вероятностей Лапласа находим табличное значение t-статистики: t=1,96 (Приложение Г).

t_расч.= .

Так как t_{расч >} t_{табл. ,} то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. изменения в налоговой системе повлияли на платёжеспособность предприятий региона.

Для того чтобы сделать более определённый вывод о характере этих изменений, альтернативную гипотезу сформулируем следующим образом: изменения в налоговой системе привели к снижению платёжеспособности предприятий региона, т.е. H₁ : . Зададим для этого случая уровень значимости α=0,05. Вероятность Р( -tμ)=0,05, следовательно, значение интеграла вероятностей Лапласа в пределах от – t до 0 равно

,

а в пределах от – t до + t соответственно 0,45 · 2 = 0,9. По таблице находим для данной вероятности значение t – статистики: t=1,65. Так как t_расч > t_табл. (3,5 > 1,65), то нулевая гипотеза должна быть отклонена, т.е. с вероятностью 0,95 можно считать, что изменения в налоговой системе привели к снижению платёжеспособности предприятий региона.

Если для проверки выдвинутой гипотезы используется малая выборка, то значение t − статистики определяется с помощью распределения Стьюдента.

Например. Часовая выработка забойщика при добыче угля в шахте по норме составляет 400 кг. Фактическая выработка соответствовала норме. При переходе в новый забой условия работы забойщиков усложнились. Для проверки обоснованности нормы в новых условиях был проведён учёт работы 9 забойщиков. Их средняя часовая выработка составила 388 кг с ²=171.

Выдвигается гипотеза о том, что норму выработки пересматривать не нужно. Следовательно, Н =400 кг. Проверку этой гипотезы проведём с 5%-м уровнем значимости. Поскольку выборка малая, отыскиваем t в таблице распределения Стьюдента при доверительной вероятности 0,95 (1 − 0,05) с числом степеней свободы (Приложение Д). Табличное значение t_табл. .

Расчётное значение t_расч вычисляем по приведённой выше формуле:

t_расч.= .

Поскольку t_расч > t_табл. (2,6 >2,3), выдвинутая гипотеза отвергается. Норма выработки в новых условиях должна быть пересмотрена, так как производительность труда в усложнённых условиях существенно ниже нормального.

Гипотеза о средних может принимать форму гипотезы о связи признаков, если сопоставляются две средние величины, одна из которых была получена при условии действия испытуемого фактора, а другая без него.

Одну из средних принимают за гипотетическую, а другую − за эмпирическую. Нулевая гипотеза может быть сформулирована следующим образом: Н₀= . Альтернативная гипотеза − Н₁: . Для проверки H_о проводится выборочное обследование, при котором объём из первой выборки составляет _, а из второй − . Обозначим соответствующие значения средних в этих выборках через ₁ и ₂ , дисперсии и . В качестве критерия при проверке этой гипотезы принимается t-статистика, расчётное значение которой по результатам выборочного обследования определяется по формуле t_расч.= ,

где − стандартная ошибка разности выборочных средних.

Стандартная ошибка разности двух выборочных средних имеет вид

.

Тогда t_расч. примет вид t_расч.= .

Сравнивая расчётное значение t-статистики с табличным (Приложение Д) при заданном уровне значимости, можно сделать вывод о необходимости согласиться с выдвинутой гипотезой или отклонить её.

Например. Для оценки влияния формы собственности на платёже-способность предприятий отрасли проведено выборочное обследование частных и государственных предприятий, в результате которого получены данные, приведённые в таблице 2.4.1.

В качестве нулевой выдвинем гипотезу о независимости степени платёжеспособности предприятий от формы собственности, то есть о равенстве коэффициентов покрытия на предприятиях указанных форм собственности: Н_{0: .} Альтернативной гипотезой будет Н_{0: .} При проверке выдвинутой гипотезы примем уровень значимости α=0,05.

Таблица 2.4.1 − Выборочное обследование частных и государственных предприятий отрасли

Форма собственности	Число обследованных предприятий ni	Средний коэффициент покрытия	Дисперсия в выборочной совокупности
Частная Государственная	16 10	1,8 1,2	0,25 1,18

Определим по формуле расчётности значение t-статистики:

t_расч.= .

Табличное значение найдём на основе распределения Стьюдента при α=0,05 и числе степеней свободы (Приложение Д) t_табл.( )=2,063 9. Расчётное значение t-статистики меньше табличного, следовательно, с вероятностью 0,95 можно считать, что платёжеспособность предприятий не зависит от принятой на них формы собственности.

Выдвинутую гипотезу можно проанализировать иначе. Зная величину среднеквадратической ошибки разности двух выборочных средних , можно с заданной вероятностью указать предел возможных расхождений двух выборочных средних =t где t-табличное значение критерия Стьюдента.

Например. Воспользуемся данными предыдущего примера (таблица 2.4.1.). Определяем среднеквадратическую ошибку разности двух выборочных средних:

.

Предельная ошибка разности двух выборочных средних:

=2,06·0,33=0,680

t_табл( )=2,06 (Приложение Д).

Поскольку фактическая разность двух средних составляет , то нулевая гипотеза подтверждается (0,6<0,68) и можно утверждать с вероятностью 0,95, что платёжеспособность не зависит от формы собственности предприятий.

Аналогично два вида гипотез могут проверены и для доли:

1. гипотеза о равенстве доли единиц, обладающих определённым признаком с нормативом;

2. сравнение долей единиц, обладающих определённым признаком, в двух совокупностях.

Порядок гипотез первого вида аналогичен порядку, приведённому для средней, то есть проверяется гипотеза , где − доля единиц, обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности; – норматив. Альтернативными могут быть гипотезы трёх видов:

1) ; 2) ; 3) .

В качестве критерия может быть принято значение t-статистики. Расчётное значение величины t определяется по формуле ,

где w – доля изучаемого признака в выборке;

μ_w – средняя ошибка выборки для доли.

Для выборки большого объёма ,

для малой выборки .

Табличное значение t-статистики как для доли, так и для средней, находится на основе интеграла вероятностей Лапласа (Приложение Г) или по распределению Стьюдента (для малой выборки) (Приложение Д).

Например. Партия изделий принимается, если доля бракованных не превышает 2%. Среди случайно отобранных 1 000 изделий 40 оказались бракованными. Можно ли при уровне значимости 0,01 принять партию?

Выдвигается нулевая гипотеза . В качестве конкурирующей принимается альтернативная гипотеза .

Находим относительную частоту брака в выборке: w= .

Рассчитываем среднюю ошибку выборки для доли:

= = =0,006 2.

Определим = =3,23.

Табличное значение t-статистики находим на основе интеграла вероятностей Лапласа (Приложение Г). Так как вероятность ( ), то Ф(t)= , а значение t_табл.=2,68.

Поскольку t_расч.> t_табл, то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. партию изделий принять нельзя.

При сравнении долей единиц, обладающих определённым признаком, в двух совокупностях применяется схема, аналогичная приведённой ранее для проверки соответствующей гипотезе о средней.

В качестве критерия используется t-статистика. Расчётное значение критерия определяется по формуле ,

где и – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в сравниваемых выборках;

– стандартная ошибка выборки.

Стандартная ошибка выборки может быть рассчитана по формуле

,

где – доля признака в генеральной совокупности;

и − объём каждой их двух выборок.

Так как при проверке нулевой гипотезы величина неизвестна, то можно использовать её оценку, полученную по результатам выборочного обследования:

,

где и – частота появления изучаемого признака в каждой из двух выборок.

Сравнивая расчётное и табличное значение t-статистики делают вывод об отклонении или принятии нулевой гипотезы. Если t_расч.>t_табл. гипотезу отклоняют, и наоборот.

Например. По результатам выборочного обследования домохозяйств двух областей Дальневосточного региона были получены данные о доле доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств (таблица 2.4.3).

Таблица 2.4.3 − Выборочное обследование домохозяйств

Номер области	Количество обследованных домохозяйств (в тыс.шт.),	Удельный вес доходов от предпри-нимательской деятельности (%),
1	15,2	7,0
2	13,5	7,5

Можно ли считать несущественными различиями в доле доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств двух областей?

Нулевая гипотеза заключается в том, что отсутствуют существенные различия в доле новых видов доходов, традиционных для рыночной экономики ( ). Тогда в качестве оценки генеральной доли будет использоваться средняя взвешенная из долей, полученных по результатам выборочных обследований каждой области:

,

то есть оценка доли дохода от предпринимательской деятельности в генеральной совокупности составляет 7,24%. Ошибка разности двух долей при справедливости нулевой гипотезы будет рассчитываться по формуле

= .

Таким образом, средняя квадратическая ошибка разности двух выборочных долей составляет 0,305%.

Поскольку обе выборки достаточно большого объёма, можно восполь-зоваться таблицей нормированной функции Лапласа (Приложение Г) для определения значения коэффициента доверия t при вероятности 0,95 и 0,99. Соответствующие этим значения t_табл. равна 1,96 и 2,58.

Расчётное значение t-критерия, равное отношению разности двух выборочных долей, составит.

= .

Поскольку расчётное значение t_расч.<t_табл. как при α=0,05 и при α=0,01, нулевая гипотеза не отвергается и делается заключение о несу-щественности различий доли доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств двух областей.

Можно было определить и максимальную возможную величину расхождений двух выборочных долей с заданной вероятностью:

.

При вероятности 0,95 =1,96·0,003 05=0,005 98. При вероятности 0,99 =2,58·0,003 05=0,007 87. Поскольку фактическая разность двух выборочных долей 0,005 (0,075-0,070) меньше найденных предельных ошибок, можно принять нулевую гипотезу.

Таким образом, оба варианта проверки гипотезы о несущественности различий доли доходов от предпринимательской деятельности по результатам выборочных обследований в двух областях доли один и тот же результат.

Задачи

10.1. Крупная торговая фирма желает открыть в новом районе города филиал. Известно, что в прошлом году фирма работала прибыльно при еженедельном среднем доходе жителей района 14 700 рублей. Цена на продукцию фирмы в связи с инфляцией возросла. Для проверки работы фирмы в новых условиях было проведено выборочное обследование 100 жителей района. Их средний еженедельный доход составил 4 750 рублей с дисперсией 400. Определите, будет ли фирма работать прибыльно, если уровень дохода жителей района останется на уровне прошлого года ( = 0,01).

10.2. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6. Оцените выборочные средние затраты времени и постройте доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

10.3. На предприятии выборочно проверен стаж работы у 12 мужчин и 8 женщин. Результаты наблюдения следующие:

Группа рабочих	Объём выборки	Средний стаж работы	Среднее квадратическое отклонение
Мужчины Женщины	12 8	14 11	3 2

Определить, можно ли считать расхождения в значениях выборочной средней стажа работы у мужчин и женщин случайным (на уровне значимости  = 0,05).

10.4. Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выборочно обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Средняя месячная заработная плата мужчин оказалась равна 24 830 руб. при среднем квадратическом отклонении 200 руб., а у женщин 23 780 руб. при среднем квадратическом отклонении 300 руб. Определить, можно ли считать расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин случайным при  = 0,05.

10.5. Обработка детали № 427 производится в цехе на двух однотипных станках. При выборочном наблюдении (механический отбор единиц) были зарегистрированы следующие затраты на обработку детали:

Затраты времени на одну деталь, мин	Число деталей
	станок № 1	станок № 2
1,5 – 2,5	7	-
2,5 – 3,5	10	12
3,5 – 4,5	15	17
4,5 – 5,5	8	11
Итого	40	40

На основе приведённых данных следует определить, существенно ли расхождение в затратах времени на обработку одной детали для этих двух станков, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

10.6. На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в городских условиях при работе водителей различной квалификации.

На основе приведённых данных следует определить, существенно ли расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух групп, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

Пробег автомобильных шин, тыс. км.	Число шин
	при работе водителей I класса	при работе водителей II класса
50 – 52	2	10
52 – 54	6	26
54 – 56	18	10
56 – 58	10	8
Продолжение таблицы
58 – 60	4	6
Итого	40	60

10.7. Расход сырья на одно изделие случаен. Результаты наблюдений таковы:

	Старая технология			Новая технология
Расход сырья	304	307	308	303	304	306	308
Число изделий	1	4	4	2	6	4	1

Предположим, что расход сырья как при старой, так и при новой технологии имеет нормальное распределение, выясните, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие  = 0,05.

10.8. По результатам опроса жителей Приморского и Хабаровского краёв о доле доходов, потраченных на покупку валюты, были получены следующие данные:

	Количество опрошенных, чел.	Удельный вес доходов, потраченных на покупку валюты, %
Хабаровский край	1 500	9,2
Приморский край	2 000	8,0

Можно ли считать существенными различия в доле доходов, потраченных на покупку валюты, жителями Приморского и Хабаровского краёв с вероятностью 0,95.

10.9. По результатам выборочного обследования жителей Хабаровского края были получены данные о доле социальных групп с наибольшим и наименьшим среднедушевым доходом в месяц:

Группы населения со среднедушевым доходом в месяц, руб.	Число человек	Доля групп в общей численности населения, %
До 5 000/	155	1,5
Свыше 30 000/	6 795	45,2

Можно ли при уровне значимости 0,1 считать, что расхождение доли населения, имеющего наибольший и наименьший уровень среднедушевого дохода несущественно?

10.10. Обработка детали № 318 производится в цехе на 2 станках, имеющих различную производительность

№ станка	№ 1	№ 2
Число проверенных деталей, шт.	200	120
В том числе брак, шт.	4	3

Можно ли считать несущественными различия в доле брака для двух станков ( = 0,05).

10.11. По результатам выборочного обследования домохозяйств двух городов были получены следующие данные о доле расходов на коммунальные услуги:

Город	Количество обследованных домохозяйств	Удельный вес расходов на коммунальные услуги
1	10	20,5
2	12	25,0

Можно ли считать существенными различия в доле расходов на коммунальные услуги в расходах домохозяйств двух городов ( = 0,01).