1.5. Малая выборка

К малым относятся выборки объёмом менее 30 единиц (n<30). Для вероятностной оценки выборочной средней при небольшом числе наблюдений, в условиях малой выборки нужно рассматривать распределение не самих выборочных средних, а величин их нормированных отклонений от средней в генеральной совокупности, т.е. значений t, играющих роль аргумента в таблице значений интеграла вероятностей. Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки пользуются так называемым отношением Стьюдента:

где − выборочная средняя;

− генеральная средняя;

− средняя ошибка малой выборки при собственно-случайном или механическом повторном отборе: ,

где − дисперсия для данной выборки, не рассматриваемая как оценка генеральной дисперсии .

Закон распределения t носит название закона распределения Стьюдента, согласно которому плотность распределения ошибок малой выборки S(t) равна

,

где – число степеней свободы при определении выборочной

дисперсии, равное n-1;

А – определяется в зависимости от числа степеней свободы с помощью гамма функции (Г – функции): .

Гамма функция имеет вид: .

Последовательно подставляя в формулу вместо значения и , можно получить значения гамма-функции, которые необходимо использовать при расчёте плотности распределения ошибок малой выборки. Вероятность того, что нормированное отклонение выборочной средней от генеральной не превысит заданного значения t, будет равна площади, ограниченной кривой распределения Стьюдента и осью абсцисс в интервале от до t: .

Кривая – распределения симметрична относительно оси ординат. Как видно из приводимой функции плотности, координаты кривой распределения Стьюдента зависят не только от , но и от числа степеней свободы . Для больших значений (больше 30) кривая очень близка к кривой нормального распределения. Значение функции – это вероятность того, что фактический коэффициент доверия . Следовательно, − вероятность того, что . Если рассматривать абсолютную величину нормированного отклонения, то есть , то вероятность её выхода за заданные пределы . .

Вероятность того, что это отклонение будет находиться в пределах от

до : .

Кроме того, эта величина равна вероятности попадания среднего значения признака в генеральной совокупности в пределы − предельная ошибка малой выборки.

Величины для разных значений и табулированы. Соответствующие таблицы могут быть представлены двумя способами:

1) искомая вероятность или находится на пересечении строки, соответствующей значению коэффициента доверия , и столбца, соответствующего числу степеней свободы или объёму выборки n, так как (Приложение Ж);

2) в клетках таблицы указывается значение коэффициента доверия , соответствующее определённому числу степеней свободы и значению доверительной вероятности или уровню значимости, равному

(Приложение Д).

В статистических таблицах вероятности и нетождественны: – вероятность того, что фактическое значение нормированного отклонения выборочной средней от генеральной будет не больше, чем табличные значения, т.е. ; − вероятность того, что по абсолютной величине не превосходит значения , т.е. .

Например. Оздоровительный центр, рекламирует свои услуги, предлагает клиентам за короткий срок снижение веса до 10 кг. По результатам выборочного обследования 15 женщин, воспользовавшихся услугами центра, были получены следующие данные о снижении их веса (таблица 1.5.1).

Таблица 1.5.1 − Расчётные данные

Снижение веса, кг хi	(х- )	(х- )2
10,2 7,6 6,1 8,4 6,0 5,7 13,7 6,9 5,2 6,1 5,0 3,7 4,7 3,6 3,2	3,79 1,19 -0,31 1,99 -0,41 -0,71 7,29 0,49 -1,21 -0,31 -1,41 -2,71 -1,71 -2,81 -3,21	14,36 1,42 0,10 3,96 0,17 0,50 53,14 0,24 1,46 0,10 1,99 7,34 2,92 7,90 10,30
Итого 96,1	-	105,90

Выборочная средняя составляет

то есть среднее снижение веса у обследованных женщин составило 6,41 кг.

Выборочная дисперсия равна

Следовательно, средняя квадратическая ошибка выборки будет

Оценим с вероятностью 0,99 предел возможных расхождений выборочной средней и генеральной средней.

, (Приложение Ж)

,

а снижение веса пациентов оздоровительного центра будет находиться в пределах: ; .

Следовательно, указанное в рекламе снижение веса на 10 кг. имеет столь малую вероятность, что считается событием практически невозможным.

Задачи

5.1. Постройте 95%-й доверительный интервал для оценки генерального среднего размера детали по данным 12 деталей, произведённых на токарном автомате, если отклонения размеров этих деталей от середины поля допуска оказались следующими:

№ детали	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Отклонение размера в МК	-1	+2	-2	+4	-3	+2	+6	-1	0	+4	+2	-1

5.2. При проверке автомобильных шин на сопротивление разрыву была проведена малая выборка и получены следующие результаты:

№ шины	1	2	3	4	5	6	7	8
Сопротивление разрыву, кг/см	164	180	176	168	156	186	190	170

Определите доверительные интервалы, в которых заключён средний уровень сопротивления материала разрыву, гарантируя результат с вероятностью 0,99.

5.3. Из покупателей, посещающих супермаркет, было обследовано 10 человек. Обследование установлено, что за один заход в магазине куплено товаров на 3 600 рублей в среднем на 1 покупателя при среднем квадратическом отклонении 100 руб. Определите пределы отклонения стоимости купленных товаров одним покупателем во всей генеральной совокупности с вероятностью 0,99.

5.4. В токарном отделении механического цеха акционерного общества в порядке выборки произведена фотография рабочего дня, составляющего 480 минут, 10 рабочих. Время непроизводительной работы и перерывов, зависящих от рабочего и по организационно-техническим причинам, составило: 60, 45, 46, 54, 47, 48, 49, 51, 54 и 46. Определите вероятность того, что разность между выборочным средним временем производительной работы и перерывов и временем непроизводительной работы и перерывов в среднем для всех рабочих цеха была не больше 5 минут. С вероятностью 0,95 установить пределы, в которых находится среднее для всех рабочих цеха время непроизводительной работы и перерывов.

5.5. Менеджеру универсама необходима информация о среднедневной потребности в кефире. Случайная выборка дала следующие результаты продаж (число проданных литровых тетрапакетов в день): 48; 59; 45; 62; 50; 68; 57; 80; 65; 58; 79; 69. Предположив, что это случайная выборка дневной потребности, постройте 90%-й доверительный интервал для среднего числа пакетов с кефиром, которое надо завозить ежедневно в универсам.

5.6. Из партии электроламп произведена малая выборка (отбор случайный) для определения продолжительности службы ламп. Результаты выборки следующие:

№ лампы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Срок горе-ния, час	1 450	1 370	1 250	1 400	1 360	1 420	1 400	1 320	1 300	1 420

На основе приведённых данных требуется: 1) определить доверительные интервалы, в которых заключена средняя продолжительность службы ламп для всей партии, гарантируя результаты с вероятностью 0,99; 2) определите вероятность того, что средний срок службы ламп для всей партии отличается от полученного по выборке не более чем на 40 часов.

5.7. С целью определения среднего суточного удоя молока от одной коровы способом случайного отбора в сельскохозяйственном предприятии отобрано 10 коров, средний суточный удой которых составил 10,0 кг, а среднее квадратическое отклонение – 2,0 кг. Определите: а) предельную ошибку при оценке среднего удоя, который можно гарантировать с вероятностью 0,95; б) пределы, в которых находится с этой же вероятностью средний удой молока от всех коров сельскохозяйственного предприятия. Одновременно в соседнем сельскохозяйственном предприятии в случайном порядке также было обследовано 10 коров, их средний удой оказался равным 12 кг, а среднее квадратическое отклонение удоя – 2,6 кг. Есть ли основания считать расхождение в среднем удое коров этих двух сельскохозяйственным предприятий существенным при уровне значимости  = 0,05? Интерпретируйте полученные результаты.