Скорость. Ускорение

Рассмотрим движение материальной точки на участке криволиней­ной траектории (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Перемещение точки от А до В за промежуток времени ∆t изображается вектором ∆r. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за промежуток времени ∆t, называется длиной пути ∆s и является скалярной функцией времени.

На участке траектории АВ вектор средней скорости равен и направлен

вдоль хорды АВ в ту же сторону, что и вектор перемещения ∆r (рис. 1.3). Скорость в точке А (мгновенная скорость).

При ∆t→0 хорда АВ в пределе совпадает с касательной, поэтому вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 1.3). Так как модуль вектора ∆r равен длине ds малого участка траектории (пути ds), то

(1.2)

т.е. модуль скорости равен первой производной пути по времени.

• Единица скорости —-метр в секунду (м/с).

Скорость движения может изменяться как по модулю, так и по на­правлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ус­корения а. Изменение скорости на участке АВ траектории за время ∆t равно ∆v = v - v, где v — скорость в точке A, v₁ — скорость в точке В.

Среднее ускорение — отношение изменения скорости ∆ν к проме­жутку времени ∆t, в течение которого произошло это изменение:

Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости.

Выражение для ускорения в точке А (мгновенного ускорения) можно получить как предел вектора (а) при ∆t→0:

(1.3)

Ускорение — векторная величина, равная первой производной ско­рости по времени.

• Единица ускорения — метр на секунду в квадрате (м/с²).

Вектор ∆v можно разложить на две составляющие: ∆ — вдоль каса­тельной, ∆ — вдоль нормали. Для этого из точки А по направлению скорости v отложим вектор AD, равный по модулю ∆ . Из рис. 1.4 видно, что ∆ = CD определяет изменение скорости по модулю, вторая состав­ляющая ∆ характеризует изменение скорости по направлению за промежуток времени ∆t:

Полное ускорение а имеет две взаимно перпендикулярные состав­ляющие: — тангенциальное, a_n — нормальное или центростремитель­ное (рис. 1.5).

Тангенциальное ускорение , направленное по касательной, опреде­ляет быстроту изменения модуля скорости.

Модуль тангенциального ускорения равен производной модуля ско­рости по времени:

(1.4)

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направле­нию и совпадает с нормалью к траектории к центру ее кривизны. Расчеты показывают, что модуль нормального ускорения

(1.5)

[R – радиус кривизны траектории]

§3 Угловая скорость. Угловое ускорение.

При вращательном движении твердого тела его точки, находящиеся на разном расстоянии r от оси вращения, за равные промежутки времени проходят разные пути. Следовательно, они имеют разную скорость и ус­корение (рис. 1.6). Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а ее линейное перемещение — ds. Тогда угловое пере­мещение (угол поворота радиуса-вектора)

(1.6)

Кинематическими характеристиками вращательного движения кроме угла поворота являются угловая скорость со и угловое ускорение .

Если за промежуток времени ∆r тело поворачивается на угол , то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью.

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота ра­диуса-вектора по времени:

(1.7)

Вектор направлен вдоль оси вращения, его направление можно определить, пользуясь правилом правого винта (рис. 1.7).

Если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора .

Если = const, то вращательное движение называют равномерным.

Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называ­ют периодом обращения Т, а величину v, обратную периоду, — частотой:

(1.8)

За один период угол поворота радиуса-вектора точки равен рад, поэтому = , или

• Единица угловой скорости — радиан в секунду (рад/с).

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ус­корением. Если за промежуток времени угловая скорость получает приращение .

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скоро­сти по времени или второй производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:

(1.9)

Угловое ускорение также является векторной величиной. При уско­ренном вращении совпадает с вектором , при замедленном вращении противоположно .

• Единица углового ускорения — радиан в секунду в квадрате (рад/с²).

Если угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела оди­наково, то все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одина­ковое угловое ускорение в данный момент времени.

Линейные характеристики — перемещение, скорость, ускорение — различны для разных точек твердого тела. Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки можно получить, ис­пользуя равенство (1.6).

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

(1.10)

Дифференцируя равенство (1.6) по времени дважды, получаем соот­ношение между тангенциальным и угловым ускорениями:

(1.11)