Задачи для самоподготовки

17. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолиней­но. Зависимость пути, пройденного телом, от времени выражается уравнением s = t² + 2t + 2 . Определите работу силы за 5 с после начала ее действия.

18. Для того чтобы растянуть пружину на длину х, требуется приложить си­лу F = kх. Какая работа совершается при растяжении пружины на длину x₁? По­тенциальная энергия деформированной пружины . Найдите силу, дейст­вующую на пружину.

19. Тепловоз массой 40 т, двигаясь со скоростью 1 м/с, ударяется в два неподвижных пружинных буфера вагона. Найдите: a. наибольшее сжатие буферов вагона, если коэффициент упругости пружины 5 - 10⁶ Н/м; b. про­должительность удара.

20. На тело действует сила F = kх². На сколько увеличится потенциальная энергия тела при его перемещении из точки х = 0 в точку х - х₁?

21. Стальная цепочка длиной 1 м, лежащая на столе, начинает скользить, ес­ли 0,15 м этой цепочки спущены со стола. Масса цепочки 3 кг, коэффициент тре­ния между столом и цепочкой 0,1. Какая работа против сил трения совершается при соскальзывании всей цепочки?

22. По условию задачи 17 найдите зависимость кинетической энергии от времени и пути.

23. Выведите формулу, по которой вычисляется кинетическая энергия тела массой т, движущегося под действием постоянной силы F, если t = 0, v₀ = 0.

24. Скорость двух центрально соударяющихся шаров до их взаимодействия равна 0,1 и 0,05 м/с, их масса соответственно равна 4 и 3 кг. Определите скорость шаров после удара при упругом соударении.

25. В каком случае двигатель автомобиля совершит большую работу (во сколько раз): для разгона с места до скорости 36 км/ч или при увеличении скоро­сти от 36 до 72 км/ч. Силу сопротивления и время движения в обоих случаях счи­тать одинаковыми.

26. Шар массой 4 кг движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с покоя­щимся шаром массой 1 кг. Вычислите работу, совершенную вследствие деформа­ции шаров при прямом центральном ударе. Шары считать неупругими.

Глава 4 механика твердого тела

§14 Момент силы. Момент инерции Момент силы

В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины — момент сил и момент инерции, физический смысл которых рас­крыт ниже.

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси 00' (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(1.46)

• Единица момента силы — ньютон-метр (Н • м).

Направление М можно найти с помощью пра­вила правого винта

Момент инерции

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

• Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

(1.47)

• Момент инерции тела относительно оси вращения — сумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тел:

(1.48)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интег­рированием:

(1.49)

[r – расстояние от оси вращения до элемента массой dm]

Если тело однородно и его плотность , то момент инерции тела, то момент инерции тела

(1.50)

• Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

• Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

(1.51)

• Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(1.52)

• Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(1.53)

• Момент инерции шара относительно диаметра

(1.54)

Рассмотрим пример. Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Масса диска — m, радиус — R.

Площадь кольца (рис. 1.15), заключенного между r и r + dr, равна . Площадь диска . Следовательно, . Тогда

или

Согласно (1.49)