§11 Потенциальная и кинетическая энергия

В механике различают два типа энергии: потенциальную и кинетическую.

Потенциальная энергия

Потенциальной энергией называют часть энергии механической системы, зависящую от ее конфигурации, т. е. от взаимного расположе­ния частиц системы и их положения во внешнем силовом поле.

В качестве примера можно привести энергию поднятого над землей тела, энергию сжатой пружины. И поднятое тело, и сжатая пружина мо­гут произвести работу.

При падении тела массой т, поднятого на высоту h, сила тяжести со­вершает работу, величина которой зависит от начального и конечного положений тела, т. е. высоты h, и равна mgh. Следовательно, тело, подня­тое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией, равной той работе, которую совершает сила тяжести, когда тело достигает конечного положения:

(1.34)

• Единица энергии – джоуль (Дж).

Потенциальной энергией кроме тел, поднятых над Землей, обладают упругие тела, подвергшиеся деформации (упругой деформации). Так, на­пример, выше мы подсчитали работу упругих сил (1.31). Очевидно, упру­гая пружина, растянутая на длину x, обладает потенциальной энергией

(1.35)

Из формул (1.34) и (1.35) следует, что работа силы тяжести и упру­гих сил не зависит от пути, а зависит от начального и конечного положе­ний тела; следовательно, сила тяжести и упругая сила — потенциальные или консервативные. Работа потенциальных сил равна убыли потенци­альной энергии системы:

(1.36)

Кинетическая энергия

Кинетической энергией называют энергию, зависящую от скорос­ти движения тела.

Всякое движущееся тело может производить работу. Кинетическая энергия определяется работой, которую может совершать тело вследст­вие того, что оно обладает определенной скоростью.

Для того чтобы найти кинетическую энергию, которой обладает движущееся тело, определим работу, которую это тело может произве­сти. Пусть тело массой т движется прямолинейно и находится под дей­ствием силы F, тормозящей его движение. Согласно второму закону Ньютона,

Элементарная работа, совершаемая движущимся телом против силы F на пути dx, равна

Если скорость тела уменьшается от v₁ до v₂, то

или

(1.37)

т. е. работа равна убыли кинетической энергии тела, так как работа со­вершается против внешних сил. Если внешние силы, действуя на тело, совершают работу, то кинетическая энергия тела возрастает. Значит, ки­нетическая энергия тела, движущегося со скоростью v, равна

(1.38)

При изменении скорости тела на dv кинетическая энергия изменится на

§12 Закон сохранения энергии

Рассмотрим, как изменяются кинетическая и потенциальная энергии изолированной системы, т. е. такой системы, на которую не действуют внешние силы, включая и силы трения, или сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Уравнение движения для каждого тела системы имеет вид

, , … ,

[F₁, F₂,..., F_i – суммарные внутренние силы, действующие на каждое тело системы]

Если все тела за промежуток времени dt совершает перемещение ds₁, ds₂…, ds_i, то, умножая скалярно каждое уравнение на соответствующее перемещение и учитывая, что

, , … ,

а затем складывая все уравнения получим

или

т.е.

Изменение кинетической энергии равно работе сил. Если силы кон­сервативные, то эта работа равна убыли потенциальной энергии системы:

Следовательно,

или

(1.39)

Для консервативных систем, в которых не происходит преобра­зование механической энергии в другие формы (нет трений и других сил, зависящих от скорости), полная энергия системы при ее движе­нии остается неизменной (закон сохранения механической энергии).