§13 Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Рассмотрим процессы столкновения тел. При столкновении проис­ходит их кратковременное взаимодействие, сопровождающееся как де­формацией, так и изменением направления их движения. Примерами яв­ляются упругое и неупругое соударения.

П ри рассмотрении столкновений необходимо знать форму тел, мас­сы покоя, скорости движения и их упругие свойства. Простейшим видом соударения является центральный удар тел. При этом ударе тела движутся только поступательно, их скорость направлена по прямой, соединяющей центры масс (рис. 1.12). Если удар аб­солютно неупругий, т. е. такой удар, после которого скорость соударяю­щихся тел оказывается одинаковой, то рассматриваемая механическая система является диссипативной¹ и для нее неприменим закон сохранения механической энергии, а применим лишь закон сохранения импульса:

p₁+p₂=p

Для центрального неупругого удара это соотношение можно переписать в виде

(1.40)

[v₁ и v₂ — скорость тел, масса которых до взаимодействия m₁ и m₂].

Из формулы (1.40) следует, что после взаимодействия тела будут двигаться как единое целое со скоростью

(1.41)

Частным случаем рассматриваемого взаимодействия будет такой, когда первоначальные импульсы p₁ и р₂ тел будут равны по модулю, но противоположны по направлению. Тогда результирующая скорость и равна нулю. В этом случае кинетическая энергия взаимодействующих тел полностью переходит во внутреннюю энергию, так как при этом совер­шается работа по деформации тел. В общем случае во внутреннюю энер­гию ( ) переходит лишь часть кинетических энергий взаимодействую­щих тел:

(1.42)

Для неупругого удара не выполняется закон сохранения механиче­ской энергии, но справедлив закон сохранения энергии, т. е. полная энер­гия рассматриваемой изолированной системы (сумма всех видов энергии, включая и собственную энергию масс покоя всех частиц) до и после столкновения остается неизменной. При абсолютно упругом столкнове­нии не происходит потеря кинетической энергии, так как в этом случае нет деформации, на которую расходуется часть энергии. Следовательно, для абсолютно упругого удара выполняется закон сохранения механиче­ской энергии и импульса:

(1.43)

[v₁ и v₂ — скорости соответственно первого и второго тел до удара, а u₁ и u₂ — после удара]. Тогда

(1.44)

Решая совместно уравнения (1.43) и (1.44), находим скорость перво­го и второго тел после удара:

(1.45)

Если массы соударяющихся тел равны (m₁=m₂), то, как следует из формул (1.45), u₁= v₂, v₂ = u₁. Тела как бы обмениваются скоростью.

Если масса одного из соударяющихся тел больше другого (m₁>>m₂), а его скорость u₁ = 0, то v₂ = -v₂.

Задачи

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

15. ело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s=2t²+4t+1. Определите:

1. работу силы за 10 с с начала ее действия

2. зависимость кинетической энергии от времени

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Дано: m=1кг s=2t²+4t+1

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Найти: а. А b. Е_к=f(t)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Решение:

→→→ Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:

(1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

или (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или от второй производной пути по времени. В соответствии с этим находим

(3)

(4)

тогда

(5)

из выражения (3) определим

(6)

подставим (5) и (6) в уравнение (1) и получим

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала её действия:

Кинетическая энергия определяется по формуле

Вычисления:

Дж=960 Дж

Ответ: a. A=960 Дж b. T=m(8t²+16t+8)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

16. На двух шнурах одинаковой длинны, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг (рис.1.13). Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол , и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и не упругим. Определите энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Дано: m₁=0,5 кг m₂=1кг l=0,8 м

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Найти: a. h₁ b.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Решение:

→→→ Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид

(1)

[v1 и v2 – это скорость шаров до удара].

Скорость большего шара до удара равна нулю (v2=0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол (см. рис.1.13) ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую:

Из рисунка видно что

поэтому

(2)

Из уравнений (1)и (2) находим скорость шаров после удара:

(3)

Кинетическая энергия которой обладают шары послу удара, переходят в потенциальную:

(4)

[h – это высота падения шаров после столкновения]

Из формулы (4) находим h=v²/(2g), или с учетом (3)

Вычисления:

Ответ: a. h=0,044м b.