§7 Третий закон Ньютона

Этот закон утверждает, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти тела:

(1.22)

Следует отметить, что сила F₁ — это сила, с которой второе тело действует на первое, она приложена к первому телу. F₂ — сила, с которой первое тело действует на второе. Эта сила приложена ко второму телу, поэтому эти силы не уравновешивают друг друга.

При взаимодействии тел наблюдается как прямое действие, так и действие на расстоянии. При прямом действии, например при ударе мо­лота о наковальню, сила, с которой действует молот на наковальню, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой нако­вальня действует на молот. Примером действия на расстоянии является взаимное притяжение Земли и Солнца. И в этом случае силы равны и противоположно направлены.

§8 Закон сохранения импульса

Силы взаимодействия между частицами (частями) некоторой рас­сматриваемой системы тел называют внутренними.

Силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не включенных в эту систему, называют внешними.

Если система состоит из n материальных точек, то уравнение (1.21) можно записать в виде

[p= -импульс всей системы, - импульс силы].

Перепишем это равенство в виде

В замкнутой системе силы отсутствуют, т.е. ; следовательно,

(1.23)

Это равенство выражает закон сохранения импульса: полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Следовательно, если у одного из тел в изолированной системе изме­нился импульс, то это могло произойти только за счет изменения им­пульсов других тел этой же системы.

В неинерциальных системах отсчета закон сохранения импульса не выполняется, так как силы инерции являются внешними некомпенсированными силами по отношению к неинерциальной системе. Однако вто­рой закон Ньютона остается справедливым в данной системе, если в сумму внешних сил включить и силы инерции:

[F — сумма внешних сил, F_m — сила инерции].

§9 Силы в механике

Чтобы предсказать характер движения тела в каждом конкретном случае, необходимо знать законы действующих на тело сил, т. е. зависи­мость сил от различных величин.

• Силы тяготения (гравитационные силы) — это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения.

• Сила тяжести — сипа, с которой тело притягивается Землей.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают в данном месте земного шара с одинаковым ускорением g, называемый ускорением свободного падения. Тогда на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что это ускорение вызывается силой тяжести:

P = mg. (1.24)

• Вес — сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на опору или натягивает нить подвеса.

Сила тяжести равна весу только в том случае, когда ускорение тела относительно Земли равно нулю, т. е. когда тело относительно Земли не­подвижно или движется с постоянной скоростью. В противном случае Р = m(g - а), где а — ускорение тела с опорой относительно Земли.

При свободном падении тела вес этого тела равен нулю, т. е. оно на­ходится в состоянии невесомости.

• Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопро­вождающегося их деформацией.

Упругая (квазиупругая) сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия:

F = -kr (1.25)

[r — радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия, к — упругость].

Примером такой силы является сила упругости деформации пружи­ны при растяжении или сжатии:

F=-kx (1.26)

[k—жесткость пружины, х — упругая деформация].

• Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела

поверхности другого:

F_тр=kN (1.27)

[k — коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состоя­ния соприкасающихся поверхностей; N — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу].

Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению тела относительно другого.

Задачи

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1. Тело брошенное вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определите:

   1. продолжительность полета тела до точек А и В (рис. 1.8);

   2. максимальную высоту, на которую поднимается тело;

   3. дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

дано: Н=12 м.; °; ;

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

найти: a. ;

b. y_max;

с. х_max;

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

решение:

→→→ В обозначении на рисунке 1.8 системе координат проекции начальной скорости

v_0x = v₀ cos (1)

v_0y = v₀ sin (2)

Координаты тела с течением времени изменяются в соответствии с уравнение для равнопеременного движения:

y = H + v₀ t sin -gt²/2 (3)

x = v₀ tcos (4)

Время подъема тела найдем из условия, что в наивысшей точке подъема тела его скорость

v_y = v₀ sin -gt = 0 (2)

тогда

t_под = v₀ sin /g (5)

Время спуска тела от С до точки А равно времени подъема, поэтому продолжительность полета тела от точки О₁ до точки А равна

t_A = 2t _под = 2v₀sin /g (6)

Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (3), подставив в него время подъема из уравнения (5)

y_max = H + sin² /(2g) (7)

Время полета тела до точки В найдем из уравнения (3), приравняв координату у нулю (y = 0)

(8)

Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время движения из уравнения (8)

x_max = v₀ t_B cos

вычисления

;

;

;

;

Ответ: a. t_А=1,22 с; t_B = 2,29 с;

b. y_max = 13,84 м;

с. x_max = 23,8 м

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

2. По условию задачи 1 найдите в момент приземления тела следующие величины:

   1. Скорость падения

   2. Угол падения тела

   3. Тангенциальное и нормальное ускорение тела

   4. Радиус кривизны траектории

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

дано: Н=12м, , v₀=12 м/с

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

найти: a. v_B

b.

c. ,

d. R

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

решение:

→→→ Результирующая или мгновенная скорость в точке B (рис. 1.9) . Проекцию скорости v_y в точке B найдем из уравнения (2`) задачи (1), подставив в него время движения t_B [см. (8)]:

;

;

;

Из рис 1.8 определим угол , образуемый вектором скорости v_B с осью Ox:

;

; ;

Построим в точке B «треугольник ускорений». Вектор тангенциального ускорения направлен вдоль вектора мгновенной скорости в данной точке, т.е. по касательной к траектории; вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору мгновенной скорости v_B . Из рис. 1.9 \видно, что

;

;

Радиус кривизны траектории в точке приземления определяем из уравнения

.

вычисления:

Ответ: a. v_B=19,5м/с

b.

c.

d. R=72,5 м/с²

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

3. Движение тела массой 1 кг задано уравнением s=6t²+3t+2. Найдите зависимость от времени:

   1. Скорости

   2. Ускорения

Вычислите силу действующую на тело в конце второй секунды.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

→→→ Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:

v=ds/dt; v=18t²+3

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F= ma, где согласно условию задачи a – ускорение в конце второй секунды. Тогда

вычисления :

Ответ: a. v=18t²+3

b. a=36t

c. F=72Н

Задачи для самоподготовки

4. От самолета, летящего горизонтально со скоростью 500 м/с, сброшен предмет. Чему равны нормальное и тангенциальное ускорения предмета через 50 с после начала падения? Сопротивление воздуха не учитывать

5. Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Определите:

   1. Наибольшую высоту подъема

   2. Дальность полета

   3. Радиус кривизны траектории в наивысшей точки

6. По условию предыдущей задачи определите скорость тела, а так же его нормальное и тангенциальное ускорение через 2 с после начала движения

7. Зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид s=2t-3t²+t³. Найдите зависимость скорости от времени и силу действующую на тело в конце второй секунды. Масса тела 1 кг

8. Материальная точка массой 1г движется по окружности радиусом 2м согласно уравнению s=8t-0,2t³. Найдите:

   1. Скорость

   2. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени 3с

9. Тело вращения равноускоренно с начальной угловой скоростью 5 с^-1 и угловым ускорением 1с^-2. Сколько оборотов сделает тело за 10 с.

10. Тело массой 2кг движется прямолинейно со скоростью, зависимость которой от времени выражается уравнением v=2,5t²+10t. Определите:

    1. Пут пройденный телом за 5 с.

    2. Силу, действующую на тело в конце 5 секунды

11. Найдите закон движения тела массой m под действием постоянной силы F, если в момент t=0 начальная координата x=0 и v=v₀

12. Тело массой 2кг движется с ускорением, изменяющемся по закону a=5t-10. Определите:

    1. Силу, действующую на тело через 5 с после начала действия

    2. Скорость в конце пятой секунды

13. Под действием постоянной силы 10 Н тело движется прямолинейно и зависимость пройденного пути от времени имеет вид s=10-5t+2t². Найдите массу тела.

14. Найдите закон движения тела массой m под действием постоянной силы F, если в момент t=0 имеем x=x₀ и v=v₀.