- •О. Н. Жданов в. А. Чалкин эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения
- •Оглавление
- •П редисловие
- •Эллиптические кривые
- •§ 1. Алгебраические кривые и эллиптические кривые
- •Список уравнений кривых с целыми коэффициентами,
- •Список уравнений кривых с целыми коэффициентами,
- •§ 2. Группа точек эллиптической кривой
- •Ранги эллиптических кривых 𝛦, задаваемых уравнениями
- •Ранги эллиптических кривых 𝛦, задаваемых уравнениями
- •Значения для 𝑥 от 0 до 22
- •Точки кривой
- •§ 3. Применение эллиптических кривых в задаче факторизации чисел
- •Контрольные задания
- •Глава 2 Криптосистемы на эллиптических кривых
- •§ 1. Кодирование и дискретное логарифмирование
- •§ 2. Ключевой обмен и шифрование с использованием группы точек эллиптической кривой
- •Вычислительные усилия, необходимые для криптоанализа при использовании эллиптических кривых и rsa
- •§ 3. Алгоритм цифровой подписи, основанный на группе точек эллиптической кривой
- •Контрольные задания
- •Глава3 . Аспекты практической реализации криптографических алгоритмов на эллиптических кривых
- •§ 1. Эффективная реализация элементарных операций
- •§ 2. Определение количества точек на кривой
- •§ 3. Использование стандартных кривых
- •§ 4. Применение эллиптических кривых в криптографии
- •Алфавит точек эллиптической кривой для выполнения индивидуальных заданий
- •Пример выполнения контрольного задания 4.Умножение точки на число.
- •Пример3.Генерация подписи
- •Пример 4.Проверка подписи
- •Контрольные задания
- •1. Шифрование
- •2. Расшифрование
- •3. Сложение точек
- •5. Генерация подписи
- •6. Проверка подписи
- •Практические задания
- •Послесловие
- •Библиографический список
- •3. Определения и обозначения
- •Эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения
1. Шифрование
Вариант 1. {(618, 206),(253, 211)}; {(745, 210),(318, 429)}; {(596, 433),(85, 716)};
{(618, 206),(90, 730)}; {(425, 663),(43, 527)}; {(377, 456),(652, 315)};
{(568, 355),(675, 505)}; {(596, 433),(376, 686)}; {(568, 355),(85, 35)}.
Вариант 2. {(745, 210), (434, 136)}; {(440, 539), (229, 600)}; {(286, 136), (520, 2)};
{(188, 93), (642, 698)}; {(188, 93), (45, 720)}; {(16, 416), (719, 538)};
{(346, 242), (45, 31)}; {(725, 195), (438, 711)}; {(440, 539), (395, 414)}.
Вариант 3. {(725, 195), (86, 726)}; {(286, 136), (681, 366)}; {(72, 254), (86, 25)};
{(16, 416), (138, 453)}; {(489, 468), (157, 175)}; {(16, 416), (31, 136)};
{(568, 355), (109, 551)}; {(489, 468), (143, 602)}; {(618, 206), (652, 315)}.
Вариант 4. {(179, 275), (383, 411)}; {(440, 539), (229, 151)}; {(618, 206), (466, 214)};
{(568, 355), (156, 704)}; {(72, 254), (564, 38)}; {(725, 195), (145, 143)};
{(286, 136), (176, 413)}; {(346, 242), (12, 314)}; {(188, 93), (275, 456)}.
Вариант 5. {(725, 195), (620, 680)}; {(596, 433), (39, 171)}; {(425, 663), (654, 102)};
{(135, 82), (85, 716)}; {(286, 136), (99, 295)}; {(179, 275), (526, 412)};
{(16, 416), (458, 490)}; {(489, 468), (140, 115)}; {(568, 355), (400, 56)}.
Вариант 6. {(346, 242), (594, 414)}; {(596, 433), (34, 677)}; {(440, 539), (546, 670)};
{(440, 539), (694, 581)}; {(188, 93), (515, 684)}; {(377, 456), (517, 573)};
{(346, 242), (288, 639)}; {(188, 93), (209, 82)}; {(188, 93), (205, 379)}.
Вариант 7. {(440, 539), (663, 275)}; {(425, 663), (638, 131)}; {(16, 416), (228, 480)};
{(440, 539), (329, 447)}; {(283, 493), (463, 736)}; {(188, 93), (688, 741)};
{(440, 539), (407, 669)}; {(596, 433), (6, 218)}; {(568, 355), (561, 140)}.
Вариант 8. {(188, 93), (458, 261)}; {(188, 93), (184, 217)}; {(16, 416), (374, 436)};
{(618, 206), (267, 81)}; {(745, 210), (506, 92)}; {(568, 355), (256, 121)};
{(179, 275), (110, 622)}; {(188, 93), (576, 286)}; {(745, 210), (376, 686)}.
Вариант 9. {(188, 93), (6, 218)}; {(568, 355), (234, 164)}; {(16, 416), (390, 603)};
{(346, 242), (307, 693)}; {(188, 93), (45, 31)}; {(188, 93), (45, 31)};
{(72, 254), (229, 600)}; {(377, 456), (685, 655)}; {(188, 93), (45, 31)}.
Вариант 10. {(286, 136), (269, 187)}; {(179, 275), (490, 434)}; {(618, 206), (371, 14)};
{(135, 82), (438, 40)}; {(72, 254), (438, 711)}; {(618, 206), (407, 82)};
{(440, 539), (532, 50)}; {(188, 93), (228, 480)}; {(56, 419), (538, 325)}.
Вариант 11. {(489, 468), (210, 720)}; {(425, 663), (151, 518)}; {(440, 539), (594, 337)};
{(188, 93), (422, 162)}; {(188, 93), (290, 509)}; {(188, 93), (79, 640)};
{(56, 419), (496, 31)}; {(440, 539), (26, 366)}; {(745, 210), (240, 442)}.
Вариант 12. {(377, 456), (558, 359)}; {(745, 210), (688, 741)}; {(72, 254), (679, 73)};
{(188, 93), (36, 664)}; {(56, 419), (588, 44)}; {(16, 416), (558, 392)};
{(188, 93), (606, 147)}; {(179, 275), (269, 564)}; {(72, 254), (395, 414)}.
Вариант 13. {(56, 419), (454, 628)}; {(72, 254), (67, 84)}; {(440, 539), (397, 567)};
{(425, 663), (53, 474)}; {(72, 254), (414, 563)}; {(618, 206), (253, 211)};
{(56, 419), (688, 10)}; {(135, 82), (160, 142)}; {(745, 210), (48, 49)}.
Вариант 14. {(135, 82), (69, 510)}; {(489, 468), (481, 369)}; {(56, 419), (426, 89)};
{(346, 242), (594, 414)}; {(618, 206), (100, 387)}; {(618, 206), (350, 184)};
{(346, 242), (86, 726)}; {(179, 275), (660, 476)}; {(72, 254), (642, 53)}.
Вариант 15. {(425, 663), (99, 295)}; {(56, 419), (606, 147)}; {(56, 419), (151, 233)};
{(188, 93), (279, 398)}; {(16, 416), (218, 601)}; {(568, 355), (328, 461)};
{(188, 93), (390, 603)}; {(16, 416), (585, 540)}; {(377, 456), (237, 297)}.
Вариант 16. {(188, 93), (62, 372)}; {(346, 242), (329, 447)}; {(16, 416), (376, 686)};
{(188, 93), (358, 491)}; {(725, 195), (143, 602)}; {(377, 456), (243, 87)};
{(56, 419), (185, 105)}; {(56, 419), (396, 481)}; {(618, 206), (558, 359)}.
Вариант 17. {(568, 355), (461, 747)}; {(188, 93), (675, 246)}; {(283, 493), (328, 290)};
{(425, 663), (543, 357)}; {(568, 355), (206, 106)}; {(425, 663), (496, 31)};
{(135, 82), (394, 731)}; {(346, 242), (594, 414)}; {(425, 663), (454, 628)}.
Вариант 18. {(568, 355), (321, 467)}; {(286, 136), (99, 295)}; {(283, 493), (358, 491)};
{(188, 93), (314, 127)}; {(286, 136), (685, 655)}; {(596, 433), (515, 67)};
{(568, 355), (205, 379)}; {(618, 206), (405, 747)}; {(286, 136), (525, 674)}.
Вариант 19. {(188, 93), (221, 613)}; {(188, 93), (446, 227)}; {(135, 82), (426, 89)};
{(179, 275), (102, 267)}; {(568, 355), (599, 696)}; {(16, 416), (151, 233)};
{(188, 93), (27, 120)}; {(745, 210), (27, 631)}; {(725, 195), (235, 732)}.
Вариант 20. {(489, 468), (599, 696)}; {(489, 468), (61, 622)}; {(188, 93), (13, 134)};
{(56, 419), (447, 0)}; {(346, 242), (197, 145)}; {(568, 355), (554, 330)};
{(725, 195), (705, 687)}; {(618, 206), (295, 219)}; {(489, 468), (407, 82)}.
Вариант 21. {(286, 136), (612, 329)}; {(425, 663), (526, 412)}; {(135, 82), (27, 120)};
{(745, 210), (707, 195)}; {(618, 206), (281, 518)}; {(188, 93), (390, 603)};
{(286, 136), (612, 329)}; {(377, 456), (160, 609)}; {(179, 275), (530, 22)}.
Вариант 22. {(596, 433), (66, 552)}; {(618, 206), (90, 730)}; {(179, 275), (590, 376)};
{(179, 275), (687, 91)}; {(725, 195), (535, 374)}; {(725, 195), (203, 324)};
{(440, 539), (344, 400)}; {(188, 93), (461, 747)}; {(425, 663), (269, 564)}.
Вариант 23. {(725, 195), (4, 567)}; {(440, 539), (727, 65)}; {(618, 206), (13, 134)};
{(179, 275), (79, 640)}; {(618, 206), (147, 361)}; {(188, 93), (288, 639)};
{(16, 416), (362, 446)}; {(188, 93), (267, 81)}; {(286, 136), (395, 414)}.
Вариант 24. {(425, 663), (636, 4)}; {(568, 355), (660, 275)}; {(346, 242), (229, 151)};
{(188, 93), (606, 147)}; {(425, 663), (652, 315)}; {(346, 242), (414, 563)};
{(745, 210), (340, 78)}; {(568, 355), (422, 589)}; {(725, 195), (422, 589)}.
Вариант 25. {(489, 468), (517, 573)}; {(377, 456), (151, 233)}; {(283, 493), (629, 403)};
{(188, 93), (682, 179)}; {(188, 93), (165, 382)}; {(286, 136), (75, 433)};
{(286, 136), (417, 614)}; {(425, 663), (275, 456)}; {(135, 82), (729, 578)}.
Вариант 26. {(440, 539), (705, 64)}; {(440, 539), (350, 567)}; {(489, 468), (273, 270)};
{(286, 136), (243, 664)}; {(440, 539), (229, 151)}; {(135, 82), (99, 456)};
{(745, 210), (668, 409)}; {(135, 82), (394, 731)}; {(72, 254), (611, 579)}.
Вариант 27. {(377, 456), (47, 349)}; {(596, 433), (45, 31)}; {(188, 93), (422, 162)};
{(188, 93), (290, 509)}; {(377, 456), (240, 309)}; {(377, 456), (47, 349)};
{(596, 433), (533, 299)}; {(56, 419), (414, 563)}; {(135, 82), (394, 20)}.
Вариант 28. {(179, 275), (237, 297)}; {(440, 539), (86, 726)}; {(377, 456), (681, 366)};
{(377, 456), (114, 607)}; {(425, 663), (147, 361)}; {(188, 93), (319, 233)};
{(377, 456), (445, 271)}; {(568, 355), (67, 667)}; {(16, 416), (243, 664)}.
Вариант 29. {(72, 254), (218, 601)}; {(188, 93), (86, 726)}; {(440, 539), (334, 226)};
{(568, 355), (251, 245)}; {(346, 242), (228, 480)}; {(16, 416), (6, 533)};
{(56, 419), (320, 7)}; {(188, 93), (138, 453)}; {(346, 242), (192, 719)}.
Вариант 30. {(188, 93), (557, 28)}; {(489, 468), (589, 429)}; {(618, 206), (229, 151)};
{(188, 93), (13, 617)}; {(568, 355), (324, 128)}; {(16, 416), (307, 693)};
{(425, 663), (269, 187)}; {(179, 275), (177, 189)}; {(568, 355), (266, 91)}.
