Ранги эллиптических кривых 𝛦, задаваемых уравнениями
Ранг |
Значение параметра 𝑎 |
|
𝑎 = 1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 22, –1, –3, –4, –8, –9, –11, –13, –18, –19 |
|
𝑎 = 3, 5, 8, 9, 13, 15, 18, 19, 20, –2, –5, –6, –7, –10, –12, –14, –15, –20 |
|
𝑎 = 14, 33, 34, 39, 46, –17, –56, –65, –77 |
|
𝑎 = –82 |
Таблица 4
Ранги эллиптических кривых 𝛦, задаваемых уравнениями
Ранг |
Значение параметра 𝑎 |
|
𝑎 = 1, 4, 6, 7, 13, 14, 16, 20, 21, –1, –3, –5, –6, –8, –9, –10, –14, –432 |
|
𝑎 = 2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 18, –2, –4, –7, –13, –15, –18, –19, –20, –21 |
|
𝑎 = 15, 17, 24, 37, 43, –11, –26, –39, –47 |
|
𝑎 = –113, 141, 316, 346, 359, –174, –307, –362 |
В настоящее время неизвестно, существуют ли эллиптические кривые сколь угодно большого ранга.
Структуру подгруппы кручения Tors𝛦(𝑄) во многом проясняет следующее утверждение.
Теорема
4. Пусть 𝛦
– эллиптическая кривая
=
+ 𝑎𝑥
+ 𝑏,
где 𝑎
и 𝑏
– целые числа. Если (𝑥,
𝑦)
– точка конечного порядка в 𝛦,
то ее координаты 𝑥
и 𝑦
являются делителями дискриминанта
Δ = –
(
+ 27
).
Эта
теорема дает эффективный алгоритм
нахождения подгруппы Tors𝛦(ℚ).
Рассмотрим конечное множество всех
делителей
дискриминанта Δ
и найдем
все целочисленные решения
кубического уравнения
+ 𝑎𝑥
+ 𝑏
–
= 0.
Тогда
все точки конечного порядка (за исключением
𝒪)
содержатся среди найденного множества
точек
.
Полное описание структуры подгрупп кручения дает следующая теорема, доказанная американским математиком Б. Мазуром в 1976 г.
Теорема 5. Пусть 𝛦 – эллиптическая кривая над полем рациональных чисел. Тогда Tors𝛦(ℚ) изоморфна одной из следующих групп:
Tors𝛦(ℚ) ≅ ℤ/𝑛ℤ, 1 ≦ 𝑛 ≦ 10 или 𝑛 = 12;
Tors(ℚ) ≅ ℤ/2ℤ⨁ℤ/2𝑛ℤ, 1 ≦ 𝑛 ≦ 4.
Эллиптические
кривые над конечным полем. Будем
предполагать, что 𝕂
– конечное
поле
,
с
элементами.
Пусть Е –
эллиптическая кривая, определенная над
.
Если 𝕂 – поле характеристики 2, то эллиптическая кривая над 𝕂 – это множество точек, удовлетворяющих уравнению либо типа
(18а)
либо типа
(18б)
(здесь кубические многочлены в правых частях могут иметь кратные корни), вместе с «точкой в бесконечности» 𝒪.
Если 𝕂 – поле характеристики 3, то эллиптическая кривая над 𝕂 – это множество точек, удовлетворяющих уравнению
(19)
(где кубический многочлен справа не имеет кратных корней), вместе с «точкой в бесконечности» 𝒪.
Любая эллиптическая кривая над полем 𝕂 характеристики ≠2,3 изо-морфна кривой вида
=
+
𝑎𝑥
+
.*
Особый интерес для криптографии представляет объект, называемый эллиптический группой по модулю 𝑝, где 𝑝 является простым числом. Такая группа определяется следующим образом. Выберем два неотрицательных целых числа, 𝑎 и 𝑏, которые меньше 𝑝 и удовлетворяют условию
+
(mod𝑝)
≠ 0.
Тогда
обозначает
эллиптическую группу по модулю 𝑝,
элементами которой (𝑥,
𝑦)
являются пары неотрицательных целых
чисел, меньших 𝑝
и удовлетворяющих условию
вместе с «точкой в бесконечности» 𝒪. Далее мы, говоря об эллиптической кривой, если не оговорено противное, будем иметь в виду именно эллиптическую группу по модулю 𝑝.
Пример
11. Пусть
𝑝
= 23. Рассмотрим эллиптическую кривую
.
В этом случае 𝑎
= 𝑏
= 1 и мы имеем
4
⋅
+ 27 ⋅
(mod
23) ≠ 0,
что удовлетворяет условиям эллиптической группы по модулю 23.
Нас интересуют только целые значения от (0, 0) до (𝑝, 𝑝) в квадранте неотрицательных чисел, удовлетворяющих уравнению по модулю 𝑝. В нашем случае список точек можно создать по следующим правилам.
1.
Вычисляем значения
(табл. 5).
Таблица 5
Значения
для 𝑦
от 0 до 22
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
2 |
13 |
3 |
18 |
12 |
8 |
6 |
6 |
8 |
12 |
18 |
3 |
13 |
2 |
16 |
9 |
4 |
1 |
2.
Вычисляем значения
(табл. 6).
Таблица 6