- •О. Н. Жданов в. А. Чалкин эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения
- •Оглавление
- •П редисловие
- •Эллиптические кривые
- •§ 1. Алгебраические кривые и эллиптические кривые
- •Список уравнений кривых с целыми коэффициентами,
- •Список уравнений кривых с целыми коэффициентами,
- •§ 2. Группа точек эллиптической кривой
- •Ранги эллиптических кривых 𝛦, задаваемых уравнениями
- •Ранги эллиптических кривых 𝛦, задаваемых уравнениями
- •Значения для 𝑥 от 0 до 22
- •Точки кривой
- •§ 3. Применение эллиптических кривых в задаче факторизации чисел
- •Контрольные задания
- •Глава 2 Криптосистемы на эллиптических кривых
- •§ 1. Кодирование и дискретное логарифмирование
- •§ 2. Ключевой обмен и шифрование с использованием группы точек эллиптической кривой
- •Вычислительные усилия, необходимые для криптоанализа при использовании эллиптических кривых и rsa
- •§ 3. Алгоритм цифровой подписи, основанный на группе точек эллиптической кривой
- •Контрольные задания
- •Глава3 . Аспекты практической реализации криптографических алгоритмов на эллиптических кривых
- •§ 1. Эффективная реализация элементарных операций
- •§ 2. Определение количества точек на кривой
- •§ 3. Использование стандартных кривых
- •§ 4. Применение эллиптических кривых в криптографии
- •Алфавит точек эллиптической кривой для выполнения индивидуальных заданий
- •Пример выполнения контрольного задания 4.Умножение точки на число.
- •Пример3.Генерация подписи
- •Пример 4.Проверка подписи
- •Контрольные задания
- •1. Шифрование
- •2. Расшифрование
- •3. Сложение точек
- •5. Генерация подписи
- •6. Проверка подписи
- •Практические задания
- •Послесловие
- •Библиографический список
- •3. Определения и обозначения
- •Эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения
Эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения
Учебное пособие
** Материал изложен по следующим источникам: Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М., 2001 ; Столлингс В. Криптография и защита сетей: принципы и практика. М., 2001 ; Элементарное введение в эллиптическую криптографию / А. А. Болотов, С. Б. Гашков, А. Б. Фролова, А. А. Часовских. М., 2006 ; Соловьев Ю. П., Садовничий В. А., Шавгулидзе Е. Т. Эллиптические кривые и современные алгоритмы теории чисел. Ижевск, 2003.
** Подробное доказательство см. в [4].
** Доказательства каждого из этих типов можно найти в источниках, указанных в библиографическом списке. См., например, [3].
** См. упражнение 4 на с. 35.
** См. упражнение 9 на с. 36.
** Материал изложен по следующим источникам: Коблиц Н. Указ. соч. ; Столлингс В. Указ. соч. ; Элементарное ведение в эллиптическую криптографию. М., 2006 ; Математические и компьютерные основы криптологии / Ю. С. Харин, В. И. Берник, Г. В. Матвеев, С. В. Агиевич. Минск, 2003.
** Пример другого подхода к кодированию см. § 4 гл. 3.
** Показано, что это условие фактически и достаточное. См.: [10].
**** Алгоритм предложен Н. Смартом. См.: [21].
** Некоторые методы нахождения числа точек на эллиптической кривой рассматриваются в [3; 6; 9].
** См., например: [1; 16; 19].