§ 2. Группа точек эллиптической кривой

Перед обсуждением конкретных примеров эллиптических кривых над различными полями мы отметим чрезвычайно важное свойство точек эллиптической кривой: они образуют абелеву группу относительно операции сложения точек, о которой будет подробнее сказано ниже. Чтобы объяснить наглядно, как это получается, мы временно будем полагать, что 𝕂 = ℝ, т. е. что эллиптическая кривая – обычная плоская кривая (с добавлением еще одной точки 𝒪 «в бесконечности»).

Определение. Пусть 𝛦 – эллиптическая кривая над полем вещественных чисел и пусть 𝑃 и 𝑄 – две точки на 𝛦. Определим точки –𝑃 и 𝑃+𝑄 по следующим правилам.

1. Точка 𝒪 – тождественный элемент по сложению («нулевой элемент») группы точек. В следующих пунктах предполагается, что ни 𝑃, ни 𝑄 не являются точками в бесконечности.

2. Точки 𝑃 = (𝑥, 𝑦) и –𝑃 имеют одинаковые х-координаты, а их у-координаты различаются только знаком, т. е. –(𝑥, 𝑦) = (𝑥, –𝑦). Из п. 1 сразу следует, что (𝑥, –𝑦) – также точка на 𝛦.

3. Если 𝑃 и 𝑄 имеют различные х-координаты, то прямая 𝑙 = имеет с 𝛦 еще в точности одну точку пересечения 𝑅 (за исключением двух случаев: когда она оказывается касательной в Р, и мы тогда полагаем 𝑅 = 𝑃, или касательной в 𝑄, и мы тогда полагаем 𝑅 = 𝑄). Определяем теперь 𝑃 + 𝑄 как точку –𝑅, т. е. как отражение от оси 𝑥 третьей точки пересечения. Геометрическое построение, дающее 𝑃 + 𝑄, приводится ниже в примере 7.

4. Если 𝑄 = –𝑃 (т. е. х-координата 𝑄 та же, что и y 𝑃, а у-координата отличается лишь знаком), то полагаем 𝑃 + 𝑄 = 𝒪 («точке в бесконечности»; это является следствием п. 1).

5. Остается возможность 𝑃 = 𝑄. Тогда считаем, что 𝑙 – касательная к кривой в точке 𝑃. Пусть 𝑅 – единственная другая точка пересечения 𝑙 с 𝛦. Полагаем 𝑃 + 𝑄 = –𝑅 (в качестве 𝑅 берем 𝑃, если касательная прямая в 𝑃 имеет «двойное касание», т. е. если 𝑃 есть точка перегиба кривой).

Пример 8. Рассмотрим эллиптическую кривую = – 𝑥 в плоскости 𝑥𝑂𝑦 (рис. 3). Здесь приведен типичный случай сложения точек 𝑃₁ и P₂. Чтобы найти P₃ = 𝑃₁ + P₂, проводим прямую и в качестве 𝑃₁ + P₂ берем точку, симметричную относительно оси 𝑥 третьей точке, определяемой пересечением прямой и кривой. Если бы 𝑃₁ совпадала с P₂, т. е. если бы нам нужно было найти 2𝑃₁, мы использовали бы касательную к кривой в 𝑃₁: тогда точка 2𝑃₁ симметрична третьей точке, в которой эта касательная пересекает кривую.

X

Рис. 3. Пример геометрического построения

суммы точек эллиптической кривой

Теперь мы покажем, почему существует в точности еще одна точка, в которой прямая 𝑙, проходящая через 𝑃 и 𝑄, пересекает кривую; заодно мы выведем формулу для координат этой третьей точки и тем самым – для координат 𝑃 + 𝑄.

Обозначим ( – координаты точек 𝑃, 𝑄 и 𝑃 + 𝑄 соответственно. Мы хотим выразить и через и .

Предположим, что мы находимся в ситуации п. 3 определения операции сложения точек и пусть есть уравнение прямой, проходящей через Р и Q (в этой ситуации она не вертикальна). Тогда и . Точка на l, т. е. точка , лежит на эллиптической кривой тогда и только тогда, когда

.

Таким образом, каждому корню кубического многочлена соответствует точка пересечения. Мы уже знаем, что имеется два корня и , так как и – точки Р и Q на кривой. Так как сумма корней нормированного многочлена (т. е. многочлена, старший коэффициент которого равен 1) равна взятому с обратным знаком коэффициенту при второй по старшинству степени многочлена, то в нашем случае третий корень – это . Тем самым получаем выражение для , и, следовательно, Р + Q = , или, в терминах , :

(16)

Ситуация в п. 5 аналогична рассмотренной, только теперь – производная в точке Р. Дифференцирование неявной функции, заданной уравнением (1), приводит к формуле , и мы получаем следующие формулы для координат удвоенной точки:

,

(17)

.

Заметим, что если бы мы суммой точек Р и Q назвали точку R, то так определенная операция не удовлетворяла бы очевидному свойству

P + Q = R ⟹ P = R – Q.

Пример 9. Пусть Р = (–3, 9) и Q = (–2, 8) – точки на эллиптической кривой . Найти Р + Q и 2Р.

Решение. Подстановка , в первое из уравнений (4) дает ; тогда второе из уравнений (16) дает . Непосредственной подстановкой координат точки P + Q = (6, 0) в уравнение кривой можно убедиться в том, что она также лежит на ней. Далее, подставляя , , в первое из уравнений (17), получаем для х-координаты точки 2Р значение 25/4, а второе из уравнений (17) дает для у-координаты значение –35/8. Точка 2P = (25/4, –35/8) также принадлежит рассматриваемой кривой.

Существует несколько способов доказать, что множество точек на эллиптической кривой с определенной выше операцией сложения образует абелеву группу. Можно использовать результаты из проективной геометрии, из комплексного анализа двоякопериодических функций или алгебраическое доказательство, использующее теорию дивизоров на кривых^*.

Если 𝑛 – целое число, то, как и в любой абелевой группе, 𝑛P обозначает сумму 𝑛 точек Р при n > 0 и сумму |𝑛| точек –Р, если .

Еще несколько слов о «точке в бесконечности» 𝒪. По определению, это нейтральный элемент группового закона. В графической интерпретации следует себе представлять ее расположенной на оси 𝑦 в предельном направлении, определяемом все более «крутыми» касательными к кривой. Она является «третьей точкой пересечения» с кривой для любой вертикальной прямой: такая прямая пересекается с кривой в точках вида , и в точке 𝒪. Мы изложим сейчас более естественный способ введения точки 𝒪.

Под проективной плоскостью мы понимаем множество классов эквивалентности троек (X, Y, Z) (не все компоненты равны нулю), при этом две тройки называются эквивалентными, если одна из них – скалярное кратное другой, т. е. ( X, Y, Z) ~ (X, Y, Z). Такой класс эквивалентности называется проективной точкой. Если проективная точка имеет ненулевую компоненту Z, то существует, причем только одна, тройка в ее классе эквивалентности, имеющая вид (х, у, 1): просто полагаем х = X/Z, у = Y/Z. Тем самым проективную плоскость можно представить как объединение всех точек (х, у) обычной («аффинной») плоскости с точками, для которых Z = 0. Эти последние точки составляют то, что называется бесконечно удаленной прямой; наглядно ее можно себе представить на плоскости как «горизонт». Любому алгебраическому уравнению кривой в аффинной плоскости F(x, y) = 0 отвечает уравнение = 0, которому удовлетворяют соответствующие проективные точки: нужно заменить х на X/Z, у – на Y/Z и умножить на подходящую степень Z, чтобы освободиться от знаменателей. Например, если применить эту процедуру к аффинному уравнению = + 𝑎𝑥 + 𝑏 эллиптической кривой, то получится «проективное уравнение» . Этому уравнению удовлетворяют все проективные точки (X, Y, Z) с Z 0, для которых соответствующие аффинные точки (х, у), где х = X/Z, y = Y/Z, удовлетворяют = + 𝑎𝑥 + 𝑏. Помимо них, какие еще точки бесконечно удаленной прямой удовлетворяют последнему уравнению? Если положить в уравнении Z = 0, то оно примет вид = 0, т. е. X = 0. Но единственный класс эквивалентности троек с X = 0, Z = 0 – это класс тройки (0, 1, 0). Это и есть точка, которую мы обозначили 𝒪; она лежит на пересечении оси у с бесконечно удаленной прямой.

Эллиптические кривые над полем комплексных чисел. Алгебраические формулы (16)–(17) для сложения точек на эллиптической кривой над вещественными числами на самом деле имеют смысл над любым полем. В полях характеристики 2 или 3 можно вывести аналогичные равенства. Можно показать, что точки эллиптической кривой над любым полем образуют абелеву группу по сложению, определенную по этим формулам.

В частности, пусть Е – эллиптическая кривая, определенная над полем ℂ комплексных чисел, т. е. Е – множество пар (𝑥, 𝑦) комплексных чисел, удовлетворяющих уравнению (1), вместе с точкой в бесконечности 𝒪. Мы называем Е «кривой», однако с точки зрения обычных геометрических представлений она двумерна, т. е. представляет собой поверхность в четырехмерном вещественном пространстве, координатами в котором являются действительные и мнимые части точек 𝑥 и 𝑦. Покажем теперь, как можно наглядно представить себе Е в качестве поверхности.

Пусть L – решетка в комплексной плоскости. Это означает, что L – абелева группа, состоящая из всех целочисленных линейных комбинаций двух данных комплексных чисел и (где и «заметают» плоскость, т. е. не лежат на одной прямой, проходящей через начало координат): L = ℤ + ℤ (здесь ℤ – множество целых чисел). Например, если = 1, = i, то L – множество всех гауссовых целых чисел, т. е. квадратная сетка, состоящая из всех комплексных чисел с целыми действительными и мнимыми частями.

Если задана эллиптическая кривая (1) над полем комплексных чисел, то, как оказывается, существуют решетка L и функция комплексного переменного, называемая « -функцией Вейерштрасса» и обозначаемая , co следующими свойствами.

1. Функция аналитична всюду, кроме точек L, в каждой из которых имеется полюс второго порядка.

2. . Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно, при любом z L точка лежит на эллиптической кривой Е.

3. Два комплексных числа и дают одну и ту же точку на Е тогда и только тогда, когда .

4. Отображение, которое любой точке z L ставит в соответствие точку на Е, а любой точке z L – точку в бесконечности 𝒪, дает взаимно однозначное соответствие между Е и факторгруппой ℂ/L комплексной плоскости по подгруппе L.

5. Это взаимно однозначное соответствие есть изоморфизм абелевых групп, иными словами, если соответствует точке Р Е, а – точке Q Е, то + соответствует точке Р + Q.

Таким образом, можно представлять себе абелеву группу Е как комплексную плоскость «по модулю» некоторой решетки. Чтобы эту последнюю группу изобразить наглядно, заметим, что у каждого класса эквивалентности z + L существует один и только один представитель в «фундаментальном параллелограмме», состоящем из комплексных чисел вида , 0 𝑎, b < 1 (если, например, L – гауссовы числа, то фундаментальный параллелограмм – это единичный квадрат). Так как разность между противоположными точками на параллельных сторонах границы параллелограмма есть точка решетки, они равны в ℂ/L и их можно считать «склеенными». Наглядно это означает, что мы сгибаем параллелограмм так, чтобы одна из сторон соприкоснулась с противоположной (получая при этом часть цилиндра), и затем, вновь сгибая полученную цилиндрическую трубку, склеиваем противоположные окружности – и получаем тор («бублик») (рис. 4).

Рис. 4. Геометрическая интерпретация эллиптической

кривой над полем комплексных чисел

Как группа, тор есть произведение двух экземпляров группы окружности, т. е. его точки можно параметризовать парой углов . Точнее, если тор получен из решетки L = , то следует представить элемент из ℂ/L в виде , полагая а = , b = . Таким образом, можно рассматривать эллиптическую кривую над комплексными числами как двумерное обобщение окружности в вещественной плоскости.

Фактически эта аналогия идет значительно дальше, чем может показаться. «Эллиптические функции» (которые показывают, как по точке (х, у) Е найти то комплексное число z, для которого ), как оказывается, имеют свойства, аналогичные свойствам известной функции Arcsin(z) (которая показывает, как найти вещественное число, соответствующее точке единичной окружности при «наматывании» вещественной прямой на окружность). При рассмотрении эллиптических кривых с точки зрения теории алгебраических чисел обнаруживается глубокая аналогия между координатами «точек, делящих эллиптические кривые на 𝑛 частей» (т. е. таких точек P, что 𝑛P = 𝒪) и точек, делящих на 𝑛 частей единичную окружность (которые соответствуют корням степени 𝑛 из единицы в комплексной плоскости).

Точки конечного порядка. Порядком 𝑛 точки Р на эллиптической кривой называется такое наименьшее натуральное число, что 𝑛P = 𝒪; разумеется, такого конечного 𝑛 может и не существовать, в этом случае мы будем говорить о точке бесконечного порядка. Часто требуется найти точки конечного порядка на эллиптической кривой, в особенности на эллиптических кривых, определенных над полем рациональных чисел ℚ.

Пример 10. Найти порядок точки Р = (2, 3) на .

Решение. Применяя (17), находим, что 2Р = (0, 1), и вновь, с помощью (17), что 4Р = 2(2Р) = (0, –1). Поэтому 4Р = –2P и, следовательно, 6P = 𝒪. Тем самым порядок Р может быть равен 2, 3 или 6. Но 2Р = (0,1) 𝒪, а если бы Р имела порядок 3, то было бы 4Р = Р, что неверно. Итак, Р имеет порядок 6.

Эллиптические кривые над полем рациональных чисел. Если в уравнении (1) 𝑎 и b – рациональные числа, то естественно рассматривать рациональные решения (𝑥, 𝑦), т. е. эллиптическую кривую над полем ℚ рациональных чисел.

Прежде всего заметим, что 𝑎 и 𝑏 можно считать целыми числами. Действительно, пусть 𝑎 = , 𝑏 = (эти дроби не предполагаются несократимыми). Положим 𝑦 = , 𝑥 = .

Тогда исходное уравнение запишется в виде = + 𝑝𝑞³ + 𝑟 , коэффициенты этого уравнения – целые.

В 1901 г. А. Пуанкаре высказал гипотезу: все рациональные точки 𝛦(ℚ) эллиптической кривой 𝛦

= + 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ℤ

могут быть получены из некоторого конечного их числа операциями сложения точек. Точная формулировка в алгебраических терминах такова:

Теорема 3. На эллиптической кривой 𝐸, заданной уравнением с целыми коэффициентами, группа 𝐸(ℚ) рациональных точек является конечнопорожденной абелевой группой.

Строгое доказательство гипотезы Пуанкаре получил английский математик Л. Морделл в 1922 г.

Согласно теореме, каждая из таких групп есть сумма конечной «подгруппы кручения» TorsE(ℚ) (точек конечного порядка) и подгруппы, порожденной конечным числом точек бесконечного порядка . Число (минимальное) образующих бесконечной части называется рангом r; оно равно нулю тогда и только тогда, когда вся группа конечна.

Изучение ранга r и других свойств группы точек эллиптической кривой над ℚ связано со многими интересными вопросами теории чисел и алгебраической геометрии. Например, известный с древних времен вопрос «Существует ли прямоугольный треугольник с рациональными сторонами, площадь которого равна данному целому 𝑛?» эквивалентен следующему: «Верно ли, что ранг эллиптической кривой больше нуля?» Случай 𝑛 = 6 и прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 соответствует точке Р = (–3, 9) из примера 8, которая является точкой бесконечного порядка на эллиптической кривой .

Ранг 𝑟 вычислен для многих эллиптических кривых над ℚ (табл. 3, 4). В большинстве случаев он мал, чаще всего он равен 0, 1, 2, 3.

Таблица 3