Распределение случайных ошибок измерения
Вероятностная модель. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения.
Существование такого закона можно обнаружить, повторяя много раз в неизменных условиях измерения некоторой величины и подсчитывая число m тех результатов измерения, которые попадают в любой выделенный интервал. Отношение этого числа к общему числу n произведенных измерений (относительная частота попадания в отмеченный интервал) при достаточно большом числе измерений оказываются близким к постоянному числу (разумеется, своему для каждого интервала).
Это
обстоятельство позволяет применять к
изучению случайных ошибок измерения
методы теории вероятностей. В
теоретико-вероятностной модели случайные
ошибки z
= x - a (а
значит, и сами результаты измерения x
= a + z)
рассматриваются как случайные
величины,
которые могут принимать любые
действительные значения, причем каждому
интервалу
соответствует вполне определенное
число, называемое вероятностью
попадания случайной величины «Z»
в этот интервал
и обозначаемое через
.
Эта
вероятность выступает как идеализированная
относительная частота попадания в
интервал
,
т.е. на практике именно к этой вероятности
близки упомянутые выше относительные
частоты
.
Правило, позволяющее для любых интервалов находить вероятность , называется законом распределения вероятностной случайной величины Z.
Закон распределения можно записать с помощью интеграла
,
где p(z) - некоторая неотрицательная функция, нормированная условием
;
эта функция полностью определяет соответствующий закон распределения вероятностей и называется плотностью распределения.
Если
имеется случайная величина Х
с математическим
ожиданием М
и стандартным отклонением
,
то случайная величина Z–оценка
является стандартной
случайной величиной.
Z = (Х - М) /
В метрологии в качестве точности наиболее часто рассматриваются следующие характеристики рассеивания: 1 - среднее квадратическое или квадратичное отклонение ; 2 - вероятная или срединная погрешность (ошибка); 3 - Е – погрешность, вероятность быть больше или меньше которой одинакова и равна 0,5.
Например, при нормальном распределении Х этот показатель точности равен интервалу, границы которого находятся на расстоянии 0,675 σ от математического ожидания; максимальная погрешность – погрешность, вероятность превзойти которую по абсолютной величине представляет событие малодостоверное.
Например, при нормальном распределении эта вероятность очень часто берется равной 0,0027, что соответствует вероятности попадания Х за пределы интервала, границы которого находятся на расстоянии 3σ от математического ожидания.
С помощью любой из этих характеристик можно судить о точности результата измерения (рассеивании или области неопределенности).
На рис. 3.1 приведен график плотности нормального распределения Х с нанесенными на нем значениями указанных величин.
Рис. 3.1. Показатели точности измеряемой случайной величины,
распределенной по нормальному закону (U=Z)