2.1.2. Процесс диэлектрической релаксации

Фундаментальная теория диэлектрической релаксации, предложенная впервые Дебаем, исходит из макроскопического рассмотрения частотной зависимости и опирается на две основные предпосылки: экспоненциальный характер установления равновесия и применимость принципа суперпозиции [4]. В общих чертах сущность теории изложена далее.

Пусть в момент времени t = 0 к диэлектрику приложено постоянное поле Е_о. Диэлектрическое смещение D(t) будет изменяться во времени по следующему закону:

. (2.11)

Первый член в правой части уравнения, , представляет собой мгновенный отклик материала на приложение поля. Второй член, , отвечает более медленному процессу поляризации диполей, а функция Ψ(t) описывает временную зависимость этого процесса. Согласно этому определению Ψ(0)=0 и Ψ(∞)=1. Предположим далее, что скорость приближения поляризации ^DP(t) к равновесию пропорциональна ее отклонению от равновесия, т. е.

(2.12)

Здесь τ характеристическая постоянная, имеющая размерность времени и называемая временем диэлектрической релаксации. По аналогии с теориями вязко–упругости следует использовать термин время диэлектрического запаздывания, поскольку он относится к постепенному изменению деформации (поляризации, или электрического смещения) вследствие скачка напряжения (приложенного поля). Несмотря на это несоответствие, общепринятым является термин время диэлектрической релаксации. Интегрируя уравнение (2.12), имеем

, (2.13)

так что

(2.14)

Если поляризация линейно зависит от приложенного поля, большее поле Е_о + Е₁ приложенное в момент времени t = 0, даст пропорциональное увеличение электрического смещения:

(2.15)

В соответствии с принципом суперпозиции Больцмана для линейных систем, если в момент времени t₁ поле возрастает на некоторую величину, то полное смещение в дальнейшем при t > t₁ будет определяться уравнением

D(t)= (2.16)

т.е. суммой электрических смещений в соответствии с продолжительностью действия полей, их вызвавших. В общем случае для последовательности инкрементов поля до момента времени t имеем

, (2.17)

откуда для непрерывно изменяющегося поля

, (2.18)

где s переменная времени. Уравнение (2.18) выражает величину электрического смещения в материале в момент времени t в зависимости от предыстории воздействия внешнего поля. Интегрируем по частям:

. (2.19)

Из уравнения (2.14) следует, что функция , называемая функцией диэлектрического отклика, имеет вид

. (2.20)

Дифференцирование уравнения (2.19) по t дает

, (2.21)

а из уравнения (2.20) следует, что

. (2.22)

Поскольку из уравнения (2.20) также следует, что , уравнения (2.19), (2.21) и (2.22) окончательно дают дифференциальное уравнение для электрического смещения в материале:

(2.23)

В частном случае переменного поля в виде действительной части и соответствующего переменного смещения решение уравнения (2.23) имеет вид

(2.24)

и называется уравнением диэлектрической дисперсии Дебая [4]. Разделяя на действительную и мнимую части, получим:

(2.25)

(2.26)

Зависимости и от частоты внешнего поля в логарифмическом масштабе изображены на рис. 2.2. Пик диэлектрических потерь имеет ширину на полувысоте порядка 1,14. Максимум потерь имеет место при ωτ = 1 что соответствует критической частоте ω_max = 1/τ таким образом определение положения пика представляет собой наиболее простой способ экспериментальной оценки времени релаксации. Разность значений диэлектрической проницаемости при низких и высоких частотах называется силой перехода и связана с площадью под кривой поглощения:

(2.27)

(Это уравнение частный случай соотношения Крамерса–Кронига, выражающего общую связь между такими величинами, как и для любой линейной системы.)

Рис. 2.2. Кривые диэлектрической дисперсии Дебая