4. Геометрические ряды

Теорема 2. Числовой ряд вида

,

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем , называемый геометрическим рядом,

с х о д и т с я и его сумма равна числу , если ,

р а с х о д и т с я, если .

5. Свойства сходящихся рядов

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и сумма равна , то сходится ряд

, (5)

полученный из (1) отбрасыванием его первых членов. Сумма ряда (5) равна числу , где .

Свойство 2. Если ряд (1) сходится и сумма равна , то сходится ряд

, (6)

полученный из (1) приписыванием первыми произвольных слагаемых. Сумма ряда (6) равна числу , где .

Замечание 3. Если исходный ряд (1) расходится, то расходятся ряды (5) и (6), полученные из (1) приписыванием или отбрасыванием конечного числа первых членов. Поэтому ряды вида (1), (5), (6) эквивалентны с точки зрения сходимости (то есть сходятся или расходятся одновременно).

С в о й с т в о 3. Если ряд (1) сходится и сумма равна , то сходится ряд ( некоторое постоянное число), и его сумма равна .

С в о й с т в о 4. Если ряды и сходятся и их суммы равны, соответственно, и , то сходятся ряды и и их суммы равны, соответственно, и .

С в о й с т в о 5. Если ряд сходится, а ряд расходится, то расходятся ряды и .

Замечание 4. Если оба ряда и расходятся, то ряды и могут быть сходящимися.

6. Ряды с положительными членами

О п р е д е л е н и е 10. Числовой ряд

(7)

в котором называется рядом с положительными членами (положительным рядом или знакоположительным рядом).

З а м е ч а н и е 5. Главной особенностью ряда с положительными членами является то, что последовательность его частичных сумм содержит только положительные числа, а поэтому будет возрастающей и ограниченной снизу (нулем).

Следовательно, последовательность всегда имеет предел. Этот предел будет конечным числом тогда и только тогда, когда последовательность ограничена сверху. В противном случае, если не является ограниченной сверху, получаем:

Т е о р е м а 3 (необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда). Для сходимости положительного ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Приведем достаточные условия в терминах членов ряда (7), гарантирующие решение вопроса о сходимости или расходимости положительного ряда.

7. Интегральный признак коши

Т е о р е м а 4 (интегральный признак Коши). Пусть функция при удовлетворяет условиям: непрерывна, положительна, монотонно убывает. Тогда положительный ряд (1), где

(8)

сходится или расходится одновременно со сходимостью или расходимостью несобственного интеграла

(9)

З а м е ч а н и е 6. Интегральный признак Коши сохраняет силу, если условия теоремы 4 выполнены только при В этом случае интеграл (9) следует заменить интегралом