8. Гармонический ряд. Ряд дирихле

О п р е д е л е н и е 11. Числовой ряд вида

(10)

называется гармоническим рядом.

О п р е д е л е н и е 12. Числовой ряд вида

где (11)

называется рядом Дирихле (или обобщенным гармоническим рядом).

З а м е ч а н и е 7. Ряд (10) можно рассматривать как частный случай ряда (11) при

Т е о р е м а 5. Ряд Дирихле (11) сходится при и расходится при

З а м е ч а н и е 4. Ряд (11), где также является расходящимся. Но в этом случае для него не выполнено необходимое условие сходимости, так как

Поэтому числовой ряд (11) сходится при и расходится при

9. Признаки сравнения положительных рядов

Т е о р е м а 6 (первый признак сравнения). Пусть члены положительных рядов

(12)

(13)

удовлетворяют неравенству:

(14)

Тогда: если ряд (13) сходится, то сходится ряд (12); если ряд (12) расходится, то расходится ряд (13).

З а м е ч а н и е 9. Теорема 6 сохраняет силу, если условие (14) будет выполнено, начиная с некоторого номера (так как отбрасывание или приписывание к ряду любого конечного числа первых членов не меняет характер сходимости ряда).

Т е о р е м а 7 (второй признак сравнения). Пусть члены положительных рядов (12) и (13) таковы, что существует конечный предел

(15)

Тогда ряды (12) и (13) эквивалентны с точки зрения сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.

З а м е ч а н и е 10. Для сравнения с данным рядом во многих случаях целесообразно в качестве второго ряда выбирать ряд Дирихле который сходится, если и расходится, если

10. Признак даламбера

Т е о р е м а 8 (признак Даламбера). Пусть для положительного ряда (7) существует конечный предел

(16)

Тогда при ряд (7) сходится, при ряд (7) расходится. При вопрос о сходимости или расходимости ряда (7) остается нерешенным.

З а м е ч а н и е 11. Если

То, как и в случае ряд (7) расходится.

11. Радикальный признак коши

Т е о р е м а 9 (радикальный признак Коши). Пусть для положительного ряда (7) существует конечный предел

(17)

Тогда при ряд (7) сходится; при ряд (7) расходится; при вопрос о сходимости ряда (7) остается нерешенным.

З а м е ч а н и е 12. Если то, как и при ряд (7) расходится.

12. Примеры с решениями

Пример 1. Указать седьмой член последовательности

.

Р е ш е н и е. Нетрудно видеть, что общий член рассматриваемой последовательности задается формулой: . Придавая числу разные значения из множества натуральных чисел, находим члены последовательности. Например,

, , .

О т в е т: .

Пример 2. Найти общий член последовательности

. (18)

Указать ее 18-й член.

Решение. Заметим, что числители дробей (7) образуют арифметическую прогрессию , у которой первый член и разность .

Поэтому -й член последовательности нечетных натуральных чисел находим по формуле:

.

Знаменатели дробей (18) образуют геометрическую прогрессию , у которой -й член вычисляется по формуле . Следовательно, общий член последовательности (18) задается формулой: . Поэтому заключаем: .

Ответ:

П р и м е р 3. Найти общий член ряда:

Р е ш е н и е. Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель го члена равен Числители дробей образуют арифметическую прогрессию, где и Поэтому й числитель равен Знаменатели указанных дробей образуют арифметическую прогрессию с и поэтому й знаменатель равен Тогда общим членом ряда является

О т в е т:

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд:

. (19)

Р е ш е н и е. Для ряда (19) имеем:

,

Следовательно, я частичная сумма ряда (8) вычисляется по формуле:

Поэтому Значит, ряд (19) сходится и его сумма .

О т в е т: сходится, .

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

. (20)

Р е ш е н и е. Найдем для него ю частичную сумму:

Следовательно, Поэтому ряд (20) расходится.

О т в е т: расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость положительный ряд

. . (21)

Решение. В данном случае общий член ряда задается формулой , откуда находим:

Следовательно, нарушено необходимое условие сходимости ряда и по замечанию 2 ряд (21) расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 7. Исследовать сходимость рядов:

Решение. В этом случае ряд составлен из членов геометрической прогрессии, где и . Так как , то по теореме 2 ряд сходится и его сумма вычисляется по формуле: .

В этом случае ряд составлен из членов геометрической прогрессии, где и . Так как , то по теореме 2 ряд расходится.

Ответ: сходится, ; расходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

. (22)

Решение. Рассмотрим вспомогательный числовой ряд

, (23)

полученный из ряда (22) отбрасыванием первых трех членов. Видим, что ряд (23) составлен из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , значит, . Следовательно, по теореме 2 ряд (23) сходится и имеет сумму

.

Поэтому, воспользовавшись свойством 2, получаем: ряд (11) сходится и его сумма равна числу:

.

Ответ: сходится, .

П р и м е р 9. Найти сумму ряда

Р е ш е н и е. Заметим, что для любого натурального числа справедливо равенство:

Применим эту формулу для вычисления частичной суммы

Следовательно,

О т в е т:

П р и м е р 10. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию при Она непрерывна на положительна и монотонно убывает ( Поэтому интегральный признак Коши применим к рассматриваемому ряду.

Вычислим интеграл:

Итак, по интегральному признаку Коши из расходимости интеграла следует расходимость изучаемого в примере ряда.

О т в е т: расходится.

П р и м е р 11. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию , Она непрерывна при положительна, монотонно убывает (так как

Вычислим интеграл:

Следовательно, несобственный интеграл сходится. Значит, по интегральному признаку Коши сходится рассматриваемый в примере ряд.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 12. Исследовать на сходимость ряды:

а) б)

Р е ш е н и е. Ряд а) совпадает со следующим: . Он расходится как ряд Дирихле с показателем Ряд б) совпадает со следующим: . Он сходится как ряд Дирихле с показателем

О т в е т: а) расходится; б) сходится.

П р и м е р 13. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Общий член данного ряда задается формулой:

Рассмотрим вспомогательный ряд с общим членом Нетрудно видеть, что так как

Значит, вспомогательный ряд сходится как ряд Дирихле с показателем Следовательно, по первому признаку сравнения положительных рядов следует сходимость исходного ряда.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 14. Исследовать на сходимость ряд:

Р е ш е н и е. В данном случае Рассмотрим вспомогательный ряд , для которого Так как то есть . Следовательно, выполнены условия первого признака сравнения рядов.

Известно, что выбранный вспомогательный ряд  ряд Дирихле с показателем Следовательно, он сходится. Тогда по первому признаку сравнения будет сходиться и данный в примере ряд.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 15. Исследовать на сходимость ряд:

(24)

Р е ш е н и е. Для сравнения с рядом (24) возьмем расходящийся гармонический ряд На рис. 1 даны графики функций и Очевидно, что в частности, при , где . Тогда откуда заключаем:

у

у=х

у=lnx

1

О 1 е х

Рис. 1

Следовательно, по первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда (24).

О т в е т: расходится.

П р и м е р 16. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Применим второй признак сравнения, рассмотрев дополнительно гармонический ряд. Тогда , откуда получаем

Следовательно, учитывая, что гармонический ряд расходится, расходящимся является рассматриваемый в примере ряд.

О т в е т: расходится.

П р и м е р 17. Исследовать сходимость ряда:

(25)

Р е ш е н и е. Заметим, что для ряда (25) общий член при больших значениях числа удовлетворяет приближенному равенству:

.

Поэтому для сравнения с рядом (25) возьмем ряд Дирихле с показателем а значит, сходящийся. Его общий член задается формулой:

Вычислим предел:

Следовательно, по второму признаку сравнения ряд (26) сходится.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 18. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Напомним, что Для данного ряда и .

Вычислим предел:

Следовательно, исходный ряд расходится по признаку Даламбера.

О т в е т: расходится.

П р и м е р 19. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Для данного ряда и . Поэтому получаем:

Следовательно, учитывая, что то по признаку Даламбера заключаем: рассматриваемый ряд сходится.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 20. Исследовать на сходимость ряд:

где .

Р е ш е н и е. В данном случае Поэтому получаем:

Следовательно, воспользовавшись признаком Даламбера, где заключаем: ряд сходится.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 21. Исследовать на сходимость ряд:

Р е ш е н и е. В данном случае Поэтому получаем:

Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится, так как

О т в е т: расходится.

П р и м е р 22. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. Для данного ряда . Вычислим предел:

Следовательно, так как , то по радикальному признаку Коши изучаемый в примере ряд сходится.

О т в е т: сходится.

П р и м е р 23. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. В данном случае

, откуда

Вычислим предел:

Следовательно, по радикальному признаку Коши рассматриваемый в примере ряд расходится.

О т в е т: расходится.