5. Степенные ряды

О п р е д е л е н и е 10. Функциональный ряд

(9)

где – некоторые постоянные вещественные числа, называется степенным рядом с центром в точке . При этом числа называются коэффициентами степенного ряда (9).

З а м е ч а н и е 8. В дальнейшем мы ограничимся подробным анализом степенного ряда

(10)

с центром в точке Это не ограничит общности изложения, так как ряд (9) сводится к (10) с помощью замены: .

Степенные ряды (9) и (10) определены при всех , значит, для них областью определения ряда является .

З а м е ч а н и е 9. Любой степенной ряд (9) сходится абсолютно в точке . Следовательно, у любого степенного ряда область сходимости не является пустым множеством: центр ряда – точка – принадлежит .

Т е о р е м а 4 (теорема Абеля). Если степенной ряд (10) сходится при , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству: . Если степенной ряд (10) расходится при , то он расходится при всех , удовлетворяющих неравенству: .

З а м е ч а н и е 10. Из теоремы Абеля следует: у каждого степенного ряда (10) существует число , называемо радиусом сходимости ряда, что ряд (10) абсолютно сходится при , расходится при . В этом случае промежуток называется интервалом сходимости ряда (10), внутри которого ряд (10) сходится абсолютно и вне которого – расходится.

В любой из точек и (то есть на концах интервала сходимости ) ряд (10) может сходиться условно, сходиться абсолютно или расходиться, что зависит от рассматриваемого ряда. В соответствии с этим областью сходимости степенного ряда (10) будет одна из областей:

, .

З а м е ч а н и е 11. Радиус сходимости степенного ряда (10) вычисляется по одной из формул:

или (11)

при условии существования этих пределов.

З а м е ч а н и е 12. Интервал сходимости ряда (10) можно найти без использования формул (11). Для этого достаточно найти (например, по признаку Даламбера) интервал сходимости абсолютного ряда .

З а м е ч а н и е 13. В случае ряда (9) его интервал сходимости имеет вид , где число вычисляется по одной из формул (11). Область сходимости ряда (9) совпадает с одним из промежутков: или в зависимости от условия примера.

6. Свойства степенных рядов

Пусть степенной ряд (10) имеет радиус сходимости и его сумма при . В этом случае говорят, что на интервале функция разлагается в степенной ряд (10) и пишут:

. (12)

С в о й с т в о 1 (о равномерной сходимости степенного ряда). Для любого числа степенной ряд (10) сходится равномерно по в отрезке

С в о й с т в о 2 (о непрерывности суммы). Сумма степенного ряда (10) является непрерывной функцией в интервале сходимости ряда.

С в о й с т в о 3 (о тождестве степенных рядов). Если два степенных ряда и в окрестности точки имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны в том смысле, что .

С в о й с т в о 4 (о непрерывности на концах интервала сходимости). Если степенной ряд (10) сходится (хотя бы и не абсолютно) при ( ) то его сумма непрерывна слева в точке (непрерывна справа в точке ), то есть

( ) .

С в о й с т в о 5 (о почленном дифференцировании ряда). Сумма степенного ряда (10) является дифференцируемой функцией в интервале сходимости ряда . Ее производная есть сумма степенного ряда, полученного из (10) почленным дифференцированием по

. (13)

При этом интервал сходимости степенного ряда (13) равен .

С в о й с т в о 6 (о почленном интегрировании ряда). Сумма степенного ряда (10) является интегрируемой функцией на любом отрезке . Интеграл есть сумма степенного ряда, полученного из (10) почленным интегрированием по от 0 до

(14)

При этом интервал сходимости степенного ряда (14) равен .

З а м е ч а н и е 14. Операции почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов можно проводить любое число раз. Получаемые при этом степенные ряды имеют одинаковый с исходным рядом интервал сходимости.

С в о й с т в о 7 (арифметические операции со степенными рядами). Если степенные ряды и имеют общий интервал сходимости , то в нем справедливы равенства:

где