5. Примеры

Исследовать сходимость рядов по признаку Лейбница:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

14. 15. 16. 17. 18.

19. 20. 21. 22.

23. 24. 25. 26.

27. 28. 29. 30.

31. 32. 33. 34. 35.

36. 37. 38. 39.

Исследовать сходимость рядов:

40. 41. 42. 43. 44.

45. 46. 47. 48. 49.

50. 51. 52. 53.

54. 55. 56. 57.

Проверить сходимость рядов и вычислить их суммы с точностью до 0,01:

58. 59.

6. Ответы

1. сходится. 2. сходится. 3. расходится. 4. сходится. 5. расходится.

6. сходится. 7. расходится. 8. сходится. 9. расходится. 10. сходится.

11. расходится. 12. сходится. 13. расходится. 14. сходится абсолютно.

15. сходится условно. 16. сходится условно. 17. сходится условно. 18. сходится абсолютно. 19. сходится условно. 20. сходится абсолютно.

21. сходится условно. 22. сходится абсолютно. 23. сходится абсолютно.

24. сходится абсолютно. 25. сходится абсолютно. 26. сходится условно.

27. расходится. 28. сходится абсолютно. 29. сходится условно.

30. сходится абсолютно. 31. сходится абсолютно. 32. сходится условно.

33. сходится абсолютно. 34. сходится условно. 35. сходится абсолютно.

36. расходится. 37. сходится абсолютно. 38. сходится условно.

39. сходится абсолютно. 40. сходится. 41. расходится. 42. расходится.

43. сходится. 44. сходится. 45. сходится 46. сходится. 47. расходится.

48. сходится. 49. расходится. 50. расходится. 51. сходится. 52. расходится.

53. сходится. 54. расходится. 55. сходится. 56. сходится 57. расходится

58. 0,96. 59. 0,04

§ 9. Степенные ряды

1. Функциональные последовательности

О п р е д е л е н и е 1. Функциональной последовательностью называется бесконечная последовательность

(1)

элементами которой являются функции одной и той же переменной , определенные на общей области

О п р е д е л е н и е 2. Если при любом ф и к с и р о в а н н о м существует конечный предел

, (2)

то есть

, (3)

то функция называется предельной функцией для функциональной последовательности (1).

З а м е ч а н и е 1. Предел (2) представляет собой функцию переменной , определенную на области . В формуле (3) номер существенно зависит от и меняется при переходе от одного значения к другому, принимая в общем случае бесконечное множество значений.

Поэтому естественно встает следующий вопрос: существует ли такой номер , который при заданном числе будет пригодным для в с е х . Ответ на поставленный вопрос, оказывается, может быть и «да», и «нет» в зависимости от рассматриваемых функций (1).

О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что функциональная последовательность (1) сходится равномерно в области к своей предельной функции (пишут ), если существует предел (2) и выполняется условие:

(4)

Если предел (2) существует, но условие (4) не выполнено, то говорят, что последовательность (1) сходится неравномерно в области (или просто сходится) к функции .

Пишут:

Т е о р е м а 1 (условие равномерной сходимости функциональной последовательности). Для того чтобы последовательность (1) имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно в области , необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого числа нашелся такой номер , зависящий от что для всех и при любом натуральном числе выполнялось неравенство: