2. Функциональные ряды. Область сходимости

О п р е д е л е н и е 4. Выражение вида

, (5)

где некоторая последовательность функций переменной , определенных в области , называется функциональным рядом и условно обозначается символом:

З а м е ч а н и е 2. При каждом фиксированном функциональный ряд (5) превращается в числовой ряд

,

который, может оказаться, при одних сходится, при других – расходится.

О п р е д е л е н и е 5. Функция вида

(6)

называется й частичной суммой ряда (5).

О п р е д е л е н и е 6. Говорят, что ряд (5) сходится в точке , если существует конечный предел

(7)

называемый суммой ряда (5) в точке .

О п р е д е л е н и е 7. Остатком порядка ряда (5) в точке называется функция вида

(8)

З а м е ч а н и е 3. Справедливо следующее свойство: если ряд (5) сходится в точке к числу то при остаток ряда стремится к нулю в точке , то есть

О п р е д е л е н и е 8. Множество всех точек при которых ряд (5) сходится, называется областью сходимости ряда (5).

З а м е ч а н и е 4. В частных случаях область сходимости функционального ряда может быть пустым множеством, может принадлежать или может совпадать с .

З а м е ч а н и е 5. Области определения функций и вида (7) и (8) совпадают с областью сходимости ряда (5).

3. Равномерная сходимость функционального ряда

О п р е д е л е н и е 9. Если последовательность частичных сумм ряда (5) сходится равномерно (сходится неравномерно) в области к своей предельной функции , то говорят, что в области ряд (5) сходится равномерно (сходится неравномерно).

Т е о р е м а 2 (критерий равномерной сходимости функционального ряда). Для того чтобы функциональный ряд (5) сходился равномерно в области , необходимо и достаточно выполнения условия:

На практике для установления равномерной сходимости функционального ряда вида (5) полезно знание следующего достаточного признака.

Т е о р е м а 3 (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (5) удовлетворяют в области неравенствам

,

где члены некоторого сходящегося числового ряда , то ряд (5) сходится в области равномерно.

4. Функциональные свойства суммы ряда

С в о й с т в о 1 (непрерывность суммы). Если функции

определены и непрерывны в области и ряд (5) сходится в равномерно к сумме , то функция непрерывна в области .

З а м е ч а н и е 6. Сформулированные в свойстве 1 условия являются лишь достаточными: можно привести примеры равномерно сходящихся рядов с непрерывными членами и непрерывной суммой; а также можно привести примеры неравномерно сходящихся рядов с непрерывными членами и разрывной суммой.

З а м е ч а н и е 7. Если дополнительно к условиям, перечисленным в свойстве 1, функции на , то условие равномерной сходимости ряда (5) будет не только достаточным, но и необходимым для непрерывности суммы этого ряда.

С в о й с т в о 2 (почленный переход к пределу). Пусть любая из функций определена в и при имеет конечный предел: . Если ряд (5) сходится в области равномерно, то сходится числовой ряд и сумма ряда (5) при имеет предел:

, где , то есть

С в о й с т в о 3 (почленное интегрирование ряда). Если функции непрерывны на отрезке и ряд (5) сходится равномерно на отрезке , то интеграл от суммы ряда (5) существует и удовлетворяет равенству:

,

то есть

.

С в о й с т в о 4 (почленное дифференцирование ряда). Пусть функции имеют непрерывные производные в области . Если в не только сходится ряд (5), но равномерно сходится ряд то сумма ряда (5) имеет в производную. При этом справедливо равенство:

то есть