3. Моделирование нормального распределения

Будем обозначать через - случайную величину, распределенную по нормальному закону с плотностью

Если а=0, =1, то говорят о стандартной нормальной случайной величине, которую обозначим N. Связь между и N простая:

=a+N

Поэтому достаточно имитировать N. Разработаны многочисленные способы имитации этой величины. Рассмотрим некоторые из них.

Метод полярных координат.

Утверждение. Пусть Х и У независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением. Рассмотрим случайную точку на плоскости - (Х,У) и ее полярные координаты и :

(9.1)

Тогда и будут независимыми случайными величинами, распределенными по следующим законам:

• имеет функцию распределения

• распределена равномерно на [0,2].

Наоборот, если и имеют указанные распределения и независимы, то величины Х и У, вычисленные по формулам (9.1), независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Доказательство очевидно из следующих преобразований:

== ==

И обратно

=== =

Рассмотрим способ имитации. Используя метод обратной функции, получим

Откуда

Полярный угол получается по формуле . Окончательно алгоритм имитации будет следующий

• от ДСЧ получаем и .

• вычисляем сразу пару значений N :

, .

Приведенный метод имитации N является точным, легко программируется и точно работает. Известен как метод Бокса и Маллера.

Известна модификация этого метода, дающая точные результаты быстрее. По этому методу генерируются два случайных числа и. Далее полагая и , вычисляют . При начинают цикл снова. При S<1 вычисляют

Метод, основанный на центральной предельной теореме.

Центральная предельная теорема утверждает: пусть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М[Х]=а и D[Х]=. Обозначим . Тогда

стремится по вероятности к N - стандартной нормальной случайной величине.

От датчика случайных чисел мы получаем . При этом М[U]=1/2 и D[U]=1/12. Поэтому, в качестве величины близкой к нормальной можно принять

Удобно взять n = 12. Тогда получается такой способ имитации:

• от датчика ДСЧ берется 12 значений ;

• вычисляем N = - 6.

Однако такой способ имеет недостатки: требует много случайных чисел и погрешность передачи нормального закона увеличивается при увеличении отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Для уточнения этого способа приближение пересчитывают по формуле

.

Величина значительно лучше передает закон распределения - N.

4. Обобщенное распределение Эрланга

Обычно распределение Эрланга используется в случаях, когда длительность какого-либо процесса можно представить как сумму к элементарных последовательных составляющих, распределенных по экспоненциальному закону. Если обозначить математическое ожидание длительности всего процесса как M[t]=1/, среднюю длительность элементарной составляющей как 1/, то плотность вероятностей распределения Эрланга представляется следующей формулой:

Дисперсия такого распределения D[t]=

Очевидно, что при к=1 - это экспоненциальное распределение. Разновидности этого распределения для разных к>0 представлены на рис.9.4. Предположим, что в распределении Эрланга имеется не строго фиксированное число экспоненциально распределенных отрезков к, а переменное, с вероятными изменениями в пределах одного интервала. Тогда можно говорить лишь о средней величине s таких отрезков, где s - число с плавающей точкой. После такого перехода от дискретных к непрерывным величинам появляется возможность работы и со значениями в пределах 0<s<1.

Рис.9.4. Вид распределения Эрланга при различных значениях к:

1 - экспоненциальное; 2,3 - распределения второго и третьего порядков

Рассмотрим программную функцию, реализующую такое распределение

f l o a t erlang{float m, float s)

{

f l o a t a, b;

i n t i, k;

a = 0.0;

к = Sjto

= S - k;

for( i=0;i<k;i++ )

a += expont(m);

if ( rundumO < b )

a += expont(m);

return(a);

}

Эта функция имеет два входных параметра:

• m - математическое ожидание элементарного интервала времени, причем m=1/k,

• s - среднее число элементарных отрезков в общей длительности процесса.

Видно, что при значениях s 1 (в том числе целых) получаем обычное распределение Эрланга с параметрами: M[t\ = ms = 1/ и D[t] – m²s=. Однако при 0<s<0 это распределение меняется коренным образом: фактически мы получаем процесс испытаний Бернулли. В результате этих испытаний «успехом» считается получение элементарного отрезка, распределенного по экспоненциальному закону с математическим ожиданием m (вероятность успеха равна s), а неудачей с вероятностью 1- s является получение элементарного отрезка с нулевой длиной. Если по такому правилу будет работать какой-то генератор заявок, то он будет создавать группы заявок. Причем средний размер группы будет равен n = 1/s , а средний интервал времени между двумя последовательными группами равен m.

Математическое ожидание интервала между двумя последовательными заявками и в этом случае определяется выражением M[t] = ms = 1/. Что касается дисперсии, то она существенно меняется и определяется по формуле:

Одно из свойств групповых потоков заключается в том, что среднеквадратичное отклонение интервала между заявками превосходит математическое ожидание этого интервала.

Если имеется возможность собрать статистику по групповому потоку на практике или получить такой поток с помощью рассмотренной выше программной функции, то можно определить коэффициент вариации с и связь этого коэффициента со средним размером группы заявок по формуле

Это соотношение позволяет отслеживать появление групповых потоков в реальных системах или в их имитационных моделях.

Обобщенное распределение Эрланга применяется при создании как чисто математических, так и имитационных моделей в двух случаях. Во-первых, его удобно применять вместо нормального распределения, если модель можно свести к чисто математической задаче, применяя аппарат марковских или полумарковских процессов либо используя метод Кендалла. Однако такие модели далеко не всегда адекватны реальным процессам. Во-вторых, в реальной жизни существует объективная вероятность возникновения групп заявок в качестве реакции на какие-то действия, поэтому возникают групповые потоки. Применение чисто математических методов для исследования в моделях эффектов от таких групповых потоков либо невозможно из-за отсутствия способа получения аналитического выражения, либо затруднено, так как аналитические выражения содержат большую систематическую погрешность из-за многочисленных допущений, благодаря которым исследователь смог получить эти выражения. Для описания одной из разновидностей группового потока можно применить обобщенное распределение Эрланга, которое рассмотрим ниже. Внешне похожее на гамма-распределение, оно имеет свои математические особенности.

Появление групповых потоков в сложных экономических системах приводит к резкому увеличению средних длительностей различных задержек (заказов в очередях, задержек платежей и др.), а также к увеличению вероятностей рисковых событий или страховых случаев.