3. Модели планирования эксперимента

Процесс машинного моделирования системы можно описывать с помощью различных моделей планирования. Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т.д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Полнота выражается в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Пусть изучается влияние k количественных факторов Xi(i =1,k ) на некоторую реакцию в отведенной для экспериментирования локальной области факторного пространства G, ограниченной . Функцию реакции можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени от переменных

который содержит коэффициентов. Для оценки коэффициентов можно применить методы линейной регрессии. Например, аппроксимация полиномом второго порядка функции реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в виде

Если выбрана модель планирования, т.е. выбран вид функции и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства G спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений коэффициентов этого уравнения.

Рассмотрим особенности методики планирования эксперимента для линейного приближения поверхности реакции.

Вначале выбирают локальную область факторного пространства G границы области определения факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта. Далее находят локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня Xio и интервалов варьирования ΔXi. В качестве исходной точки Xio выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе. Эта точка не должна близко к границам области определения факторов . На выбор интервала варьирования ΔXi накладывается ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения G).

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраических полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов Xiн на нескольких уровнях относительно исходной точки Xib, представляющей собой центр эксперимента.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель планирования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модель используется план эксперимента с варьирование всех k факторов на двух уровнях, т.е.

. Такие планы называются планами типа , где N=-число всех возможных испытаний. Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем Xiн и верхнем Xiв, симметрично расположенных относительно основного уровня Xio. Геометрическая интерпретация этапа показана на рис. 14.1.

Так как каждый фактор принимает лишь два значения , то для упрощения записи условий каждого испытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответствовал -1, верхний +1, а основной - нулю. Это достигается с помощью преобразования

,

где Xi - кодированное значение i-го фактора; Xi - натуральное значение фактора; Xio - нулевой уровень; ΔXi = (Xiв - Xiн)/2 - интервал варьирования фактора.

Р ис.14.1. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента типа без масштабирования (а) и масштабированием (б) по осям.

Пример. Пусть i-й фактор соответствует температуре Т , т.е. Xi=Т. За основной уровень принято значение Тo=100, а интервал варьирования ΔХi=20. Тогда кодированные значения Xi по уровням будут: для нижнего уровня (80-100)/20=-1, для верхнего (120-100)/20=-1, для основного (100-100)/20=0.

Выписывая комбинации уровней факторов для каждой точки квадрата, получим план D полного факторного эксперимента типа :

Номер испытания

.............................. 1 2 3 4

..............................-1 +1 -1 +1

..............................-1 -1 +1 +1

ПЭФ дает возможность определит не только коэффициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодействия двух или более факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена и определения эффектов взаимодействия план эксперимента D расширяют до матрицы планирования x путем добавления соответствующей "фиктивной переменной": единичного столбца и столбцов произведений , как показано в табл.14.1.

Таблица 14.1

Номер испытания		План ПФЭ			Реакция
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	+1

Как видно из рассмотренного плана экспериментов типа , количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента

т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения их количества. В таких случаях строят планы дробного факторного эксперимента, которые предусматривают число испытаний, равное числу определяемых коэффициентов линейной модели.

Кроме симметричных двухуровневых планов применяют также многоуровневые планы, в которых факторы варьируются на 3,4 ... уровнях. Рассмотренные планы носят название планов регрессионного анализа многофакторного эксперимента.