Контрольные вопросы

1 Что называется моментом инерции материальной точки?

2 Что называется моментом инерции твердого тела?

3 В каких единицах измеряется момент инерции?

4 От чего зависит момент инерции тела?

5 Чему равен момент инерции кольца? Диска?

6 Сформулировать основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

7 Что называется периодом колебаний?

8 Как период колебаний связан с частотой колебаний?

Работа 1.5 определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний

Цель paботы: определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.

Теоретическое введение

Моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно главных осей инерции, проходящих через центры противоположных граней:

(5.1)

,

где a, b, c –длины ребер параллелепипеда.

Экспериментальный способ определения моментов инерции тел основан на наблюдении крутильных колебаний исследуемого тела.

Уравнение вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через точку подвеса, имеет вид:

(5.2)

где α- угол поворота тела вокруг вертикальной оси; М-момент упругой силы относительно той же оси, действующей со стороны закрученного на угол α торсиона; J-момент инерции тела.

При малых деформациях этот момент пропорционален деформации:

(5.3)

где k- коэффициент жесткости при кручении.

Уравнение (5.2) с учетом (5.3) примет вид:

(5.4)

Или (5.5)

В общем виде уравнение (5.5) можно записать:

(5.6)

где - собственная круговая частота гармонических колебаний. Решением уравнения (5.6) является функция, описывающая незатухающие гармонические колебания:

(5.7)

где α- угол поворота тела в момент времени t; α₀-амплитуда колебаний; -фаза колебаний; φ₀ –начальная фаза.

Период колебаний тела определяется как

(5.8)

Описание лабораторной установки

Установка изображена на рис. 5.1 и 5.2 и включает в себя: основание 1, вертикальную стойку 2, верхний 3 и нижний 4 кронштейны, средний кронштейн 5, набор исследуемых образцов. Основание 1 снабжено тремя регулируемыми опорами 6 и винтом-барашком 7 для фиксации стойки. Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения торсиона 8 (стальной проволоки), с которым связана металлическая рамка 9 с грузами 10, предназначенная для установки исследуемых образцов 13. На среднем кронштейне 5, на котором нанесена шкала отсчета углов закручивания торсиона, расположен электромагнит 15, предназначенный для удерживания рамки в исходном положении и ее освобождения (при этом возникают крутильные колебания рамки вокруг вертикальной оси), фотодатчик 16, предназначенный для определения периода колебаний металлической рамки с исследуемыми образцами и без них.

Рисунок 5.1 – Внешний вид установки

Теоретическое значение периода колебаний рамки с грузами массами М, надеваемыми сверху (рисунок 5.1), согласно (4.16) определяется по формуле:

(5.9)

где J_M-моменты инерции грузов, которые могут быть вычислены по теореме Штейнера

(5.10)

где ℓ=0,0525 м – расстояние от оси вращения рамки до оси грузов, -момент инерции каждого груза относительно оси вращения, проходящей через центр масс. .

(5.11).

r=0,015м – радиус каждого груза.

Возведя в квадрат обе части уравнений (5.8) и (5.9), и поделив одно уравнение на другое, получим выражение для определения момента инерции рамки без грузов:

;

(5.12)

M

M

Рисунок 5.2 - Рамка с грузами и образцом

Теоретическое значение периода колебаний T₂ рамки с образцом и без грузов массами М:

(5.13)

(5.14)

где a, b, c –размеры исследуемого образца, ρ=8400кг/м³-плотность латуни.

Возведя в квадрат уравнения (5.8) и (5.13) и поделив их почленно, получим выражение для определения момента инерции образца:

(5.15)