3.2.2 Расчет и построение афчх

Передаточная функция динамического элемента или системы в изображениях Лапласа в общем виде:

(3.3)

где - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров звеньев (постоянных времени и коэффициентов передачи);

- оператор Лапласа.

Выполнив подстановку в (3.3), получим комплексный коэффициент передачи частотную передаточную функцию):

(3.4)

В выражении (3.4) выделяем вещественную и мнимую части

. (3.5)

Для определения вещественной и мнимой частей запишем выражение (3.4) в виде

(3.6)

где - вещественная часть числителя (3.4);

- мнимая часть числителя (3.4);

- вещественная часть знаменателя (3.4);

. – мнимая часть знаменателя (3.4).

С учетом (3.6) получим

; (3.6)

. (3.7)

По зависимости (3.5) амплитудно-фазовая частотная характеристика строится в декартовой системе координат, где по оси абсцисс откладывается вещественная часть, а по оси ординат мнимая часть. Любой частоте ω_i будет соответствовать точка с координатами [U(ω_i), jV(ω_i)]. Соединяя точки, полученные при различных значениях частоты, получим годограф (амплитудно-фазовую частотную характеристику или АФЧХ).

Для построения АФЧХ необходимо:

1) изучить теоретический материал по теме, изложенный на с.40-64 [1], уяснить понятия динамического звена, типового звена, передаточной функции, частотной передаточной функции, ознакомиться с методикой получения и построения АФЧХ по передаточной функции;

2) выписать передаточную функцию динамического звена и его параметры согласно заданному варианту;

3) выяснить, какие элементарные звенья входят в состав анализируемого динамического звена.

Решение задачи рекомендуется выполнять в последовательности:

1) преобразовать передаточную функцию к виду (3.3);

2) получить частотную передаточную функцию (3.4);

3) определить вещественную и мнимую части частотной передаточной функции, пользуясь формулами (3.6, 3.7);

4) рассчитать координаты АФЧХ U(ω_i) и V(ω_i), изменяя частоту ω от 0 до ∞;

5) результаты расчета оформить в таблице;

6) по результатам расчета построить АФЧХ в декартовой системе координат.

При расчете АФЧХ определяют ее координаты при предельных значениях частоты ( и ), при частотах , где - постоянные времени звеньев. Затем вычисляются дополнительные точки для более точного построения АФЧХ. Если в составе динамического звена

имеются интегрирующие звенья, то при ω=0 частотная передаточная функция обращается в , а АФЧХ претерпевает разрыв. Пример решения задачи приведен в Приложении Б.

3.2.2 Расчет и построение логарифмических частотных характеристик

Для построения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик системы с произвольной дробно-рациональной передаточной функцией (3.3) нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить в виде

, (3.8)

где k - общий коэффициент передачи системы; число интегрирующих звеньев ν=…,-1,0,1,2,..; W_i(s), W_j(s) представляют собой элементарные множители 1-го и 2-го порядка с единичными коэффициентами усиления, т.е множители вида s, , , если . Множителю s в знаменателе соответствует интегрирующее звено, множителю в знаменателе соответствует инерционное звено (апериодическое первого порядка), множителю в знаменателе, если , соответствует колебательное звено. Если эти множители стоят в числителе передаточной функции, то им соответствую звенья: идеальное дифференцирующее, форсирующее первого порядка и форсирующее второго порядка. Поскольку заданные передаточные функции (таблица 3.1) представляют собой произведение передаточных функций типовых звеньев, операцию разложения на простые множители выполнять не нужно.

Подставляя в (3.8) , получим частотную передаточную функцию

. (3.9)

В соответствии с (3.3) и (3.9) ЛАЧХ

. 3.10)

При вычислении амплитудной и фазовой частотных функций удобно использовать следующие правила вычисления модуля и аргумента произведения и отношения комплексных чисел (функций):

модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей;

аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей;

модуль отношения комплексных чисел равен отношению модулей числителя и знаменателя;

аргумент отношения комплексных чисел равен разности аргументов числителя и знаменателя.

В соответствии с правилами вычисления модуля амплитудную частотную функцию системы, имеющей частотную передаточную функцию вида (3.9), можно представить

. (3.11)

Из (3.10) и (3.11) имеем для ЛАЧХ выражение

(3.12)

Фазовая частотная функция в соответствии с правилом вычисления аргумента комплексной функции определяется выражением

. (3.13)

Таким образом, ЛАЧХ при любой передаточной функции может быть получена сложением или вычитанием амплитуд (в дБ), а ЛФЧХ путем сложения или вычитания фаз простых сомножителей.

Простым множителям s, и в передаточной функции соответствуют множители jω, и в частотной передаточной функции. Соответствующие амплитудные частотные функции

, ,

. (3.14)

Фазовые частотные функции в радианах:

интегратора ;

инерционного звена ;

колебательного звена для частот от нуля до ;

для частот ;

идеального дифференцирующего звена ;

;форсирующего звена первого порядка ;

форсирующего звена второго порядка ,

Для перевода в градусы необходимо полученные значения умножить 57,32.

По формулам (3.12 и 1.13), изменяя частоту, можно построить точные характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ. При этом нужно иметь в виду, что при . Поэтому в начале координат откладывается произвольная частота 10^k, где k =…-2,-1,0,1… . Эта частота выбирается примерно меньше на одну-две декады, чем частота , где наибольшая из постоянных времени звеньев, входящих в систему, для которой определяются частотные характеристики.

Для упрощения построения монотонная ЛАЧХ аппроксимируется ломаной линией, состоящей из прямолинейных отрезков с типовыми наклонами: 0, , , … дБ/дек. Такие характеристики называются асимптотическими. При этом нужно учитывать следующее:

1. Усилительное звено имеет , его ЛАЧХ представляет горизонтальную линию, фазовая характеристика рад совпадает с осью частот.

2. Сомножитель , где имеет амплитудную характеристику , . ЛАЧХ представляет прямую линию с наклоном, равным 20 дБ/дек. Фазовая характеристика постоянная и определяется выражением .

3. Сомножитель в числителе (3,9) соответствует форсирующему звену и имеет амплитудную частотную характеристику и ЛАЧХ . Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух асимптот: низкочастотной и высокочастотной.

Низкочастотная асимптота соответствует условию . При этом (под корнем пренебрегаем слагаемым ), т.е. для низких частот ЛАЧХ - горизонтальная прямая, совпадающая с осью абсцисс.

Высокочастотная асимптота соответствует условию . При этом (под корнем пренебрегаем единицей), т.е. для высоких частот ЛАЧХ – прямая линия с наклоном +20 дБ/дек, которая пересекает горизонтальную ось на частоте . Эта частота называется сопрягающей.

Фазовая частотная функция . На низких частотах ФЧХ стремится к нулю, на сопрягающей частоте рад, на частотах рад.

4. Сомножитель в знаменателе (3,9) соответствует инерционному звену с коэффициентом передачи, равным единице. Его амплитудная частотная характеристика

,

а ЛАЧХ .

При , т.е. низкочастотная асимптота – горизонтальная прямая, совпадающая с осью абсцисс.

При , т.е. высокочастотная асимптота – прямая линия с наклоном – 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс на частоте .

Фазовая частотная функция и изменяется в пределах от 0 до рад. На сопрягающей частоте рад.

5. Сомножитель в знаменателе (3.9) соответствует колебательному звену с коэффициентом передачи, равным1.

Амплитудная частотная функция этого звена

,

а логарифмическая амплитудная частотная функция

Для , следовательно, низкочастотная асимптота - горизонтальная прямая, совпадающая с осью абсцисс.

Для , следовательно, высокочастотная асимптота представляет прямую линию с наклоном – 40дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс на частоте .

Фазовая частотная функция

для ;

для .

Правила построения асимптотических ЛАЧХ.

1) Вычислить 20lgK и сопрягающие частоты , которые следует пронумеровать в порядке возрастания.

2) На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты.

3) Построить первую асимптоту с наклоном - 20дБ/дек, проходящую через точку с координатами (1, 20lgK) до первой сопрягающей частоты.

4) Построить вторую асимптоту, которая проводится из конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты. Ее наклон изменяется на 20дБ/дек или на 40дБ/дек по отношению к первой асимптоте в зависимости от того, звеном первого или второго порядка является звено, которому соответствует первая сопрягающая частота. Знак плюс берется, если изменение наклона ЛАЧХ обусловлено форсирующими звеньями, знак минус, если изменение наклона обусловлено инерционным или колебательным звеньями.

5) Построить остальные асимптоты аналогично второй, изменяя наклоны на частотах сопряжения.

Последняя асимптота начинается из конца асимптоты, заканчивающейся на последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.

Пример вычисления и построения логарифмических частотных характеристик приведен в приложении.