Контрольные вопросы

1. Определение функции тока.

2. Определение комплексного потенциала.

3. Примеры плоских потенциальных течений.

4. Определение комплексной скорости.

6. Вихревое движение жидкости

Движение жидкости называется вихревым, если хотя бы в части объема, занимаемого жидкостью, . Рассмотрим основные свойства вихревого движения.

Выберем замкнутый контур, состоящий из фиксированных частиц, и, следовательно, перемещающийся вместе с ними (жидкий контур), и найдем полную производную от циркуляции скорости вдоль этого контура:

,

поскольку контур меняется со временем. Из уравнения Эйлера (1.1) имеем

.

Далее несложно показать, что , а . Таким образом,

,

так как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала всегда равен нулю. Следовательно, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, перемещающемуся вместе с жидкостью, сохраняется:

. (6.1)

Поскольку эту теорему о циркуляции скорости впервые доказал в 1869 году Томсон (лорд Кельвин), она носит название теоремы Томсона.

Зная теорему Томсона, несложно доказать три другие теоремы о вихрях, которые исторически были получены несколько ранее (в 1858 году) Гельмгольцем и Лагранжем.

Первая теорема Гельмгольца (или теорема Лагранжа): элементы идеальной жидкости, лишенные вихрей в начальный момент времени, будут лишены их и в дальнейшем. Под «вихрем» или «вектором вихря» понимают векторную величину .

Введем понятие вихревой линии и вихревой трубки. Вихревой линией называют линию, касательная к которой в каждой точке коллинеарна вектору вихря. Из вихревых линий можно образовать вихревую трубку. Для этого надо взять замкнутый контур и через каждую его точку провести вихревую линию.

Вторая теорема Гельмгольца: вихревая линия состоит все время из одних и тех же частиц, т.е. движется вместе с жидкостью.

Третья теорема Гельмгольца: поток вихря через поперечное сечение вихревой трубки остается постоянным вдоль данной вихревой трубки. Следовательно, вихревые линии всегда замкнуты или начинаются и кончаются на бесконечности, а также на стенках или на поверхности жидкости.

Примеры решения задач

1. О пределить поле вихрей скорости в жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью .

Решение: Введем цилиндрическую систему координат . По условию задачи вектор скорости движения жидкости будет равен . Поскольку угловая скорость , то

.

Запишем вихрь скорости в цилиндрической системе координат:

.

Учтем, что , а зависит только от расстояния до оси вращения . Тогда

.

Подставив , окончательно получаем:

.

2. Рассмотреть движение двух точечных вихрей, описываемых комплексными потенциалами:

,

.

Решение: Запишем общий комплексный потенциал в плоскости :

Здесь и далее примем обозначения , .

Исследуем перемещение вихревых линий в пространстве.

.

Таким образом,

Учтем, что вихрь в точке перемещается только под действием поля скорости второго вихря в этой точке.

;

.

Выделим в этих уравнениях действительные и мнимые части.

Здесь введено обозначение .

Умножим первое уравнение полученной системы на , второе – на и сложим, в результате получим:

,

следовательно,

.

Аналогично поступим с третьим и четвертым уравнениями системы.

,

.

Введем понятие центра инерции системы двух вихрей следующим образом:

, .

Тогда можно сделать вывод, что центр инерции системы двух вихрей при их движении остается неподвижным.

Кроме того, можно показать, что расстояние между вихрями остается постоянным. Для этого вернемся к полученной ранее системе уравнений. Вычитая из первого второе, а из третьего четвертое, имеем:

;

.

Умножим первое из этих уравнений на , а второе – на и сложим полученные выражения, в результате получим:

.

Следовательно,

,

то есть,

.

Таким образом, при движении вихри вращаются вокруг центра инерции с сохранением расстояния между ними.