Примеры решения задач
Доказать, что полная производная по времени от скалярной функции
связана с частной производной следующим
образом:
.
Решение:
Поскольку
скалярное поле
определяется тремя координатами
и временем
,
то его полная производная по времени
по определению равна:
.
Заметив,
что
,
,
,
последние три слагаемые можно объединить
с помощью дифференциального оператора
,
представляющего собой скалярное
произведение вектора скорости и оператора
Гамильтона:
=
.
Получить уравнение неразрывности (1.2) в дифференциальной и интегральной форме.
Решение:
Рассмотрим
некоторый объем жидкости
,
состоящий все время из одних и тех же
частиц, т.е. движущийся вместе с жидкостью.
Очевидно, что масса жидкости в этом
объеме будет сохраняться с течением
времени, т.е.
,
где - плотность жидкости. Поменяв порядок дифференцирования и интегрирования, воспользовавшись результатом задачи 1.9, получим:
,
где - скорость течения жидкости.
Поскольку объем был выбран произвольно, то приравняв нулю подынтегральное выражение, получаем искомое уравнение неразрывности:
.
Его можно представить также в другом виде (см. задачу 1.1):
или, объединяя последние слагаемые, можно записать:
.
Для того чтобы получить интегральную форму уравнения неразрывности, проинтегрируем последнее выражение по фиксированному объему и воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского:
,
где
- внешняя нормаль к поверхности
,
ограничивающей объем
.
В результате получим
,
т.е. изменение массы жидкости внутри фиксированного объема равно массе жидкости (с обратным знаком), вытекающей в единицу времени из объема через его поверхность. Заметим, что этот физический факт можно было бы взять за исходный и с помощью обратных преобразований получить дифференциальную форму уравнения неразрывности [1].
Получить уравнение Эйлера (1.1).
Решение: Рассмотрим объем жидкости, состоящий все время из одних и тех же частиц, и запишем для него II закон Ньютона:
,
где
- внешняя объемная сила,
-
сила, действующая на объем
со стороны окружающей среды через
ограничивающую поверхность
.
Таким образом, имеем
.
Поскольку объем был выбран произвольно,
.
Воспользовавшись уравнением неразрывности (1.2), получаем
,
и окончательно имеем
.
Задачи для самостоятельного решения
Доказать, что для векторного поля
справедливо соотношение:
.
Вычислить градиент скалярного центрально-симметричного поля
.
Ответ:
.
Используя теорему Гаусса-Остроградского, получить формулы Грина.
Доказать, что потенциальное поле является безвихревым.
Доказать, что вихревое поле не содержит источников.
Доказать, что поле скорости
потенциально, и найти его потенциал
.
Ответ:
,
где
.
Показать, что для якобиана преобразования от эйлеровых координат
к лагранжевым
справедливо следующее соотношение:
,
где
(по дважды встречающимся индексам
подразумевается суммирование).
Пользуясь решением предыдущей задачи, получить следующее выражение для субстанциональной производной по времени от интеграла от произвольной скалярной (или векторной) функции
по некоторому объему
,
состоящему из одних и тех же частиц,
т.е. движущемуся вместе с жидкостью:
.
Доказать, что поле скорости несжимаемой жидкости соленоидально:
.
Записать уравнение неразрывности в цилиндрической и сферической системах координат.
Масса жидкости движется так, что каждая частица описывает окружность, перпендикулярную к постоянной оси и с центром на ней. Показать, что уравнение неразрывности принимает вид:
,
где
- угловая скорость для частицы, положение
которой определяется цилиндрическими
координатами
Масса жидкости движется так, что траектории частиц расположены на поверхностях коаксиальных цилиндров. Записать уравнение неразрывности.
Ответ:
Частицы жидкости движутся в плоскости, проходящей через ось z. Записать уравнение неразрывности.
Ответ:
Частицы жидкости движутся в пространстве симметрично по отношению к неподвижному центру так, что скорость каждой частицы направлена либо от центра, либо к нему и зависит только от расстояния
от центра. Записать уравнение
неразрывности.
Ответ:
Траектории частиц жидкости расположены на конусах, коаксиальных с осью z и имеющих общую вершину. Показать, что уравнение неразрывности в сферических координатах можно записать в виде:
Пусть существует функция такая, что
.
Написать уравнение неразрывности для
потенциального движения сжимаемой и
несжимаемой среды в виде уравнения
для потенциала
.
Ответ:
Для несжимаемой
среды:
;
для сжимаемой среды:
=0.
Записать уравнение неразрывности для одномерных движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией.
Указание: При таких движениях все параметры зависят лишь от одной пространственной переменной и времени , причем поверхности = const в первом случае - плоскости, во втором - цилиндры, в третьем - сферы; кроме того, для скорости отлична от нуля только составляющая вдоль координатной линии .
Ответ:
,
где n=0,1,2
соответственно для движений с плоской,
цилиндрической и сферической симметрией.
Записать уравнение Эйлера в цилиндрической и сферической системах координат.
Используя векторное тождество
,
преобразовать уравнение Эйлера к виду:
.
Записать уравнение Эйлера в форме Громэко - Лэмба:
,
где
- функция энтальпии,
- ускорение свободного падения.
Показать, ограничиваясь одномерным течением идеальной жидкости, что в Лагранжевых переменных
,
где
-
-координата
частиц жидкости в некоторый начальный
момент времени
,
уравнение неразрывности и уравнение
Эйлера имеют следующий вид:
,
,
где
- заданное начальное распределение
плотности.
Получить закон изменения энергии единицы объема жидкости в дифференциальной и интегральной форме.
Получить закон изменения импульса единицы объема жидкости в дифференциальной и интегральной форме.
Баротропный газ, подчиняющийся закону Бойля - Мариотта (
),
движется при постоянной температуре
по прямолинейной трубке постоянного
поперечного сечения. Пренебрегая
влиянием силы тяжести, вывести
дифференциальное уравнение для скорости
,
считая, что она во всех точках одного
и того же поперечного сечения в момент
времени
одинакова и направлена вдоль трубки.
Ответ:
.
Показать, что для сжимаемой жидкости, подчиняющейся закону Бойля - Мариотта ( ), которая движется по прямолинейной трубке постоянного поперечного сечения так, что скорость частиц жидкости во всех точках одного и того же поперечного сечения в момент времени одинакова и направлена вдоль трубки, справедливо соотношение
.
Влиянием силы тяжести пренебречь.
Дано поле скорости:
,
,
.
Найти компоненты ускорения.
Ответ:
,
,
.
Ц
илиндрический
стакан радиуса
с несжимаемой однородной жидкостью
плотности
вращается в поле силы тяжести с
постоянной угловой скоростью
вокруг вертикальной оси. Уровень
жидкости в стакане при
равен
.
Помещая начало цилиндрической системы
координат в нижней точке оси вращения,
определить распределение давления
жидкости
,
форму свободной поверхности
и полную силу давления на дно сосуда
.
Атмосферное давление
.
Ответ:
,
,
.
При каком условии свободная поверхность жидкости в задаче 1.30 пересекает дно сосуда?
Ответ:
.
При
этом свободная поверхность пересекает
дно сосуда при
,
где
,
.
Тогда
при
,
.
А
при
,
.