Контрольные вопросы

1. Уравнение гидростатики.

2. Условие гидродинамического равновесия.

3. Частота Брента – Вяйсяля.

3. Уравнение Бернулли и закон сохранения импульса

Уравнение, полученное Даниилом Бернулли в 1738 году и носящее его имя, проще всего вывести из уравнения Эйлера, датированного 1757 годом. Для этого запишем уравнение (1.1) в форме Громэко - Лэмба:

, (3.1)

где - функция энтальпии, а направление оси совпадает с направлением вектора . Рассмотрим частные случаи.

• Если движение стационарное и безвихревое (потенциальное) , то

(3.2)

причем постоянная сохраняется во всем потоке. Если при этом жидкость однородна и несжимаема, то получаем классическое уравнение, предложенное Д. Бернулли для описания стационарного потенциального движения однородной несжимаемой жидкости:

(3.3)

• Если движение жидкости стационарное и вихревое , то

(3.4)

при этом постоянная различна для разных линий тока. Напомним, что линией тока называют линию, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке.

• Если движение нестационарное и безвихревое , то

(3.5)

где - потенциал скорости , - произвольная функция времени.

Для вывода закона сохранения импульса, рассмотрим импульс единицы объема и найдем производную по времени от его i-ой компоненты:

. (3.6)

Из уравнения Эйлера (1.1) следует, что первое слагаемое уравнения (3.6) равно , где - внешняя сила, действующая на единицу объема. Второе слагаемое в (3.6) несложно получить из уравнения неразрывности (1.2): . Вводя тензор плотности потока импульса , где - символ Кронекера, выражение (3.6) можно записать в следующем виде:

, (3.7)

здесь по дважды встречающемуся индексу подразумевается суммирование. Теперь проинтегрируем равенство (3.7) по произвольному фиксированному объему V, ограниченному поверхностью S с внешней нормалью , используя теорему Гаусса-Остроградского:

. (3.8)

Таким образом, изменение импульса в объеме V связано с действием внешних объемных сил и потоком импульса через граничную поверхность S. В векторном виде выражение (3.8) можно представить следующим образом:

. (3.9)

Если движение жидкости стационарно и отсутствуют массовые силы, то поток тензора плотности импульса через любую взятую в жидкости замкнутую поверхность равен нулю:

(3.10)

Примеры решения задач

1 . Несжимаемая однородная жидкость плотности движется по трубке переменного сечения (площади поперечных сечений и известны). С трубкой соединен манометр U-образной формы, содержащий ртуть плотности (трубка Вентурра). Разность уровней ртути в манометре . Определить скорость течения жидкости по трубе.

Решение: Обозначим , соответственно давление и скорость жидкости в трубе с поперечным сечением , а в сечении - и (см. рисунок). Выберем линию тока из сечения в сечение , вдоль нее будет справедливо уравнение Бернулли:

.

Из закона сохранения массы жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени следует, что

.

Решая эти два уравнения относительно , получаем:

.

Поскольку разность уровней ртути в манометре измеряет разность давлений , окончательно имеем:

.

2. Найти скорость истечения тяжелой несжимаемой жидкости из малого отверстия в стенке широкого сосуда. Считать, что давление на свободной поверхности и в струе жидкости на выходе из сосуда равно атмосферному - , а площадь свободной поверхности много больше площади отверстия . Уровень жидкости в сосуде относительно дна - , расстояние от отверстия до дна - (см. рисунок).

Решение: Выбираем линию тока, идущую от поверхности к отверстию. На поверхности и в струе непосредственно за отверстием давление одинаково - , а скорость снижения уровня жидкости в сосуде пренебрежимо мала ( ), поскольку . Направим ось вертикально вверх, т.е. против направления вектора ускорения свободного падения . При таких условиях уравнение Бернулли принимает вид:

,

откуда следует известная формула Торричелли

.