Задачи для самостоятельного решения
2.1. Написать замкнутую систему уравнений для покоящейся идеальной несжимаемой жидкости (уравнения гидростатики).
2.2.
Вывести формулу для давления
на глубине
в жидкости с плотностью
,
если жидкость вместе с сосудом движется:
а)
с ускорением
,
направленным вверх;
б) с ускорением , направленным вниз;
в) с ускорением , направленным вниз.
Ответ:
а)
;
б)
;
в)
.
2.3. Сосуд с жидкостью, находящийся в покое, получает на горизонтальной поверхности ускорение вправо. Под каким углом к горизонту будет располагаться поверхность жидкости?
Ответ:
.
2.4.
С какой силой действует вода на
прямоугольную плотину высотой
и шириной
,
когда водохранилище заполнено водой
доверху?
Ответ:
.
2.5.
Найти силу
,
действующую на квадратную стенку
аквариума, до краев заполненного водой.
На какой высоте Н от дна находится точка
приложения этой силы?
Ответ:
,
,
где
-
длина стороны квадрата,
- вектор нормали к стенке.
2.6.
Уровень воды за плотиной постоянной
ширины
находится на высоте
.
Докажите, что обусловленный силой
давления вращающий момент, действующий
на плотину, имеет плечо
.
Какую минимальную постоянную толщину
должна иметь свободно стоящая бетонная
плотина высотой
,
чтобы не опрокинуться? Плотность бетона
.
Ответ:
.
2.7.
Определить зависимость давления
идеального газа от высоты в поле силы
тяжести, если температура газа изменяется
по закону
.
Рассмотреть частные случаи:
а)
,
;
б)
,
.
Ответ:
,
а)
;
б)
.
2.8.
Найти распределение давление и плотности
в политропной атмосфере, для которой
давление
и плотность
связаны соотношением
,
.
Определить высоту атмосферы.
Ответ:
,
.
2.9.
Определить зависимость давления внутри
Земного шара от расстояния до центра,
считая вещество Земли однородной
несжимаемой жидкостью плотности
и пренебрегая вращением Земли. Оценить
в том же приближении давление в центре
Земли
.
Гравитационная постоянная
,
радиус Земли
,
ускорение свободного падения на
поверхности Земли
,
атмосферное давление
.
Ответ:
,
2.10. Рассчитать полную массу Земной атмосферы, считая ее изотермической и пользуясь известными значениями давления и плотности на уровне моря.
Ответ:
.
2.11.
Баротропная жидкость описывается
уравнением состояния
,
где
и
- постоянные. Жидкость остается в покое
в поле силы тяжести, действующей в
направлении оси
.
Найти зависимость
,
если
при
.
Ответ:
.
2.12. Полусфера радиуса с вертикальной осью наполнена до краев жидкостью плотности . Определить результирующую силу давления на четверть полусферы, отсекаемую двумя вертикальными взаимно перпендикулярными плоскостями.
Ответ:
.
2.13. Показать, что при малом смещении элемента воды из своего равновесного положения вниз или вверх в океане с постоянной стратификацией
он будет совершать колебания с частотой Брента-Вяйсяля
,
если
(ось
направлена вниз,
-
ускорение свободного падения,
- плотность воды);его отклонение экспоненциально растет, т.е. механическое равновесие жидкости является неустойчивым (конвективная неустойчивость), если
.