Задачи для самостоятельного решения
3.1. Для стационарного течения жидкости показать, что уравнение Бернулли является следствием законов сохранения энергии и массы жидкости, протекающей по трубке тока.
3.2.
Показать, что для равновесных обратимых
изэнтропических процессов справедливо
следующее соотношение:
.
3.3.
Чему равна скорость вытекающей из сосуда
жидкости (см. условие предыдущей задачи),
если учесть скорость снижения уровня
воды в сосуде? Определить расстояние
,
на котором вытекающая жидкость достигнет
плоскости основания сосуда. При каком
это расстояние будет максимальным?
Ответ:
;
;
.
3.4. Почему струя воды из крана сужается книзу?
3.5.
Струя воды из крана сужается книзу.
Выведите формулу для диаметра струи в
зависимости от расстояния от крана.
Начальная скорость вытекающей воды -
,
диаметр отверстия крана -
.
3.6.
Изогнутую трубку опустили в поток воды
как показано на рисунке. Скорость потока
.
Закрытый верхний конец имеет небольшое
отверстие и находится на высоте
.
На какую высоту
поднимется струя воды, вытекающая из
отверстия?
Ответ:
.
3.7. Чему равна подъемная сила крыла, обусловленная эффектом Бернулли, если площадь крыла равна , а скорости потока над крылом и под ним равны соответственно и ?
3.8. Чему рана скорость истечения газов из сопла ракеты? Плотность газа - , давление газа внутри ракеты - , атмосферное давление - . Площадь сопла много меньше площади поперечного сечения камеры сгорания. Чему равна тяга двигателя, создаваемая выходящими из ракеты газами?
Ответ:
,
3
.9.
В вертикально стоящий цилиндрический
сосуд налита идеальная жидкость до
уровня
относительно дна сосуда. Площадь дна
сосуда равна
.
Определить время
,
за которое уровень жидкости в сосуде
опустится до высоты
относительно дна сосуда, если в дне
сосуда сделано малое отверстие площадью
.
Определить также время
,
за которое из сосуда выльется вся
жидкость.
Ответ:
;
.
3
.10.
Прямоугольная коробка плавает на
поверхности воды, погружаясь под
действием собственного веса на глубину
.
Площадь дна коробки равна
,
высота -
.
Через какое время коробка утонет, если
в центре ее дна проделать малое отверстие
площадью
и с помощью боковых направляющих
сохранять неизменной ориентацию коробки?
Ответ:
.
3.11. Через какое время наполнится водой шаровая колба радиусом , если в центре ее нижнего основания сделано малое отверстие площадью ? Колба погружена в воду до нижнего основания ее горлышка и жестко закреплена.
Ответ:
3
.12.
Через какое время наполнится водой
шаровая колба радиусом
,
если в центре ее боковой поверхности
сделано малое отверстие площадью
?
Колба погружена в воду до нижнего
основания ее горлышка и жестко закреплена.
Интересно сравнить результат с ответом
предыдущей задачи.
3
.13.
В широкий сосуд с плоским дном налита
идеальная жидкость. В дне сосуда сделана
узкая и длинная щель, в которую вставлена
насадка, образованная двумя плоскостями,
наклоненными друг к другу под малым
углом. Расстояние между ними в нижней
части насадки равно
,
а в верхней -
.
Определить распределение давления
жидкости в насадке, если атмосферное
давление равно
,
длина насадки -
,
расстояние между нижним концом насадки
и уровнем жидкости -
.
Ответ:
.
3.14.
Вода вытекает из широкого резервуара
через вертикальную коническую трубу,
вставленную в его дно. Длина трубы
,
диаметр ее верхнего основания
,
нижнего -
,
.
При каком уровне
воды в резервуаре давление в верхнем
сечении трубы будет равно
,
если атмосферное давление равно
.
Ответ:
.
3.15.
Определить
- зависимость площади сечения сосуда
от вертикальной координаты при условии,
что скорость изменения уровня жидкости
в сосуде
при ее истечении через отверстие является
постоянной. Коэффициент истечения
жидкости через отверстие считать
постоянным и равным
.
Площадь отверстия
.
Высота отверстия над нулевым уровнем
.
Ответ:
.
3
.16.
Определить форму сосуда, употребляемого
для водяных часов (клепсидры). Скорость
опускания уровня считать постоянной и
равной
.
Площадь отверстия
.
Ответ:
.
3
.17.
При установившемся истечении газа из
тонкой конической трубки траектории
частиц представляют собой прямые,
сходящиеся в вершине конуса. Предполагая,
что движение совершается изотермически
(
),
найти соотношение между скоростями
и
в сечениях, площади которых
и
.
Ответ:
.
3.18.
Показать, что при установившемся течении
идеальной жидкости (газа) в тонкой трубке
тока величина
во всех сечениях одинакова. Здесь
- плотность,
- скорость,
- площадь поперечного сечения.
3
.19.
Газ (идеальная жидкость) плотности
,
находящийся в сосуде под давлением
,
адиабатически вытекает через малое
отверстие в стенке сосуда. Определить
скорость истечения газа, если давление
в окружающей среде равно
,
плотность -
.
Ответ:
,
где
- показатель адиабаты.
3.20. Выразить скорость истечения газа в предыдущей задаче через скорость звука в газе.
Ответ:
.
3.21.
Найти массу газа, вытекающего в единицу
времени
через отверстие площадью
в условиях задачи 3.21. Коэффициент
истечения газа равен единице.
Ответ:
.
3
.22.
На горизонтальную поверхность вертикально
падает круглая струя радиуса
со скоростью
.
После падения струя растекается по
горизонтальной плоскости. Пренебрегая
влиянием силы тяжести, определить
скорость растекания струи, толщину
струи
в зависимости от
и силу избыточного давления струи на
стенку
.
Ответ:
.
3
.23.
Плоская струя воды ширины
,
текущая со скоростью
,
одинаковой для всех точек поперечного
сечения, встречается под углом
с плоской бесконечной пластиной и
разветвляется на две струи, линии тока
которых по мере удаления от места
разветвления асимптотически становятся
параллельными пластине. Определить
ширину этих струй
и
на бесконечности, полную силу избыточного
давления струи на стенку
и расстояние
от точки О пересечения пластинки с осью
неразветвленной струи до центра давления
С.
Ответ:
,
,
,
.
3.24.
Газ, находящийся в сосуде под давлением
,
адиабатически вытекает через малое
отверстие радиуса
в стенке сосуда. Давление в окружающей
среде
,
перемешивания с воздухом не происходит.
Далее струя газа ударяется о плоскую
стенку, расположенную перпендикулярно
к струе, и растекается по ней. Найти силу
избыточного давления струи на стенку.
Указание: воспользоваться решениями задач 3.21 и 3.24.
3.25.
Идеальная однородная несжимаемая
жидкость плотности
вытекает из широкого резервуара через
плоскую насадку. Ширина насадки
,
расположена она под углом
к горизонту на высоте
относительно земли. Уровень жидкости
в резервуаре
относительно земли. После удара о землю
струя жидкости разветвляется на две
струи, линии тока которых по мере удаления
от места разветвления становятся
горизонтальными. Определить ширину
струй
и
.
Указание: для нахождения скорости движения жидкости на разной высоте использовать уравнение Бернулли.